Studio di funzione asintoti obliqui

[cechuz]

la mia funzione è la seguente $f(x)=\sqrt{x^2-x+1}$ se $ x>1 $ e $f(x)=\sqrt{x^2+x-1} $ se $ x<1 $
dopo aver verificato che non esiste asintoto orizzontale ho proceduto alla verifica degli asintoti obliqui e mi sono sorte due domande:
1: ho che $ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)/x=1 $ perchè per la gerarchia degli infiniti $ x^2> x $ ma $ \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^2+x-1}}{x} = 1 $? (non capisco la gerarchia degli infiniti per $ x\rightarrow -\infty $)
2: ammesso che $m=1 $ in entrambi i casi, vado a studiare $ \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)-mx $ ed ho:
1)$ \lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x^2-x+1}-x $ "razionalizzo al contrario"ed ho $ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^2-x+1-x^2}{\sqrt{x^2-x+1}+x} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-x+1}{\sqrt{x^2-x+1}+x} $ che è asintoticamente equivalente a
$ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x}{|x|+x} =-1/2 $ perchè il valore assoluto per x positive va via.
2) $ \lim_{x\rightarrow -\infty} \sqrt{x^2+x-1}-x $ "razionalizzo al contrario"ed ho $ \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^2+x-1-x^2}{\sqrt{x^2+x-1}+x} = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+x-1}+x} $ che è asintoticamente equivalente a $ \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x}{|x|+x} = -\infty $
in sintesi avrei per $ x\rightarrow +\infty $ l'asintoto $ y=x+1/2 $ ma dal grafico (su geogebra) non riporta

[gugo82]

1. C'è una radice che "abbatte" l'ordine di infinito del numeratore sia in $+oo$ sia in $-oo$.
Gerarchia a parte (in questo caso non serve), i limiti si risolvono mettendo in evidenza e portando fuori dalla radice il termine di grado massimo.

2. Il grafico su Geogebra lascialo perdere e fai bene i conti.

[cechuz]

grazie della risposta, ma vorrei precisare che geogebra rappresenta solamente un metodo di verifica per me.