Studio di funzione alquanto complicato.. :(

[dustofstar]

Ciao a tutti.. Ho alcuni.. anzi.. molti problemi nello studiare questa funzione, nell'analizzare la crescenza, decrescenza.. Mi aiutate?

$f(x)=1/x^2-1/4(log(x^2-4))(x-2)$

Ora vi scrivo a cosa sono arrivata io.. così mi dite dove ho sbagliato..
Allora..

Per il dominio

$ x != 0; x^2-4>0 rArr x<-2 e x>2 rArr D= ]-infty, -2[ U ]2, + infty [$

Per i limiti:
$\lim_{x \to \-infty}f(x)= + infty$
$\lim_{x \to \infty}f(x)=- infty$
$\lim_{x\to \2}f(x)= ???? $ qui ho problemi perchè ho la forma $ -infty * 0 $
$\lim_{x \to \-2}f(x)=+infty$


Quindi - 2 asintoto verticale, ma 2??
Per la crescenza e la decrescenza valuto la derivata prima.. e qui ho ancora più problemi

$f'(x)= -2 x^-3 - [1/4 2x*(x-2)/ (x^2-4) + 1/4 log(x^2-4)]$
ossia facendo i calcoli:
$f'(x)= -2/(x^3) - 1/2 (x(x-2))/(x^2-4)+1/4 log(x^2-4)$

Ma ora.. come valuto quando $f'(x)>0$ Non so proprio come fare. Se faccio il minimo comune multiplo per poi valutare num e denom ho tropppi problemi.. aiutatemi!!
Ovviamente.. per la concavità e convessità ho problemi analoghi.. aiutatemi!!

[Ulyx3s]

mi sa che hai sbagliato tutti i limiti, hai invertito tutti i segni.. prova a ricontrollare..

[dustofstar]

"Ulyx3s":mi sa che hai sbagliato tutti i limiti, hai invertito tutti i segni.. prova a ricontrollare..

Hai ragione... :S avevo sbagliato a ricopiare in realtà...

Cmq ho problemi sul limite a 2 e sulle derivate.. mi aiuti?

[Euphurio]

Allora il limite per [tex]x\to2^+[/tex] è semplice. Devi applicare la regola di de l'Hôpital. Vediamo insieme come iniziare e poi continui da solo, ok?

[tex]$\lim_{x\to2^+} \frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}[\log{(x^2-4)}] (x-2)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\lim_{x\to2^+} \frac{\log{(x^2-4)}}{\frac{1}{x-2}}=\dots$[/tex]

Nota anche che [tex]$x^2-4=(x-2)(x+2)$[/tex].

Ciao!

[Euphurio]

"dustofstar":$f'(x)= -2 x^-3 - [1/4 2x*(x-2)/ (x^2-4) + 1/4 log(x^2-4)]$
ossia facendo i calcoli:
$f'(x)= -2/(x^3) - 1/2 (x(x-2))/(x^2-4)+1/4 log(x^2-4)$

Occhio!

[tex]$f'(x)=-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{2}\frac{x}{x+2}-\frac{1}{4}\log(x^2-4)$[/tex]

[dustofstar]

"Euphurio":[quote="dustofstar"]$f'(x)= -2 x^-3 - [1/4 2x*(x-2)/ (x^2-4) + 1/4 log(x^2-4)]$
ossia facendo i calcoli:
$f'(x)= -2/(x^3) - 1/2 (x(x-2))/(x^2-4)+1/4 log(x^2-4)$

Occhio!

[tex]$f'(x)=-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{2}\frac{x}{x+2}-\frac{1}{4}\log(x^2-4)]$[/tex][/quote]

Uhm.. ma anche così ho dei problemi..
Cioè per determinare quando $f'(x)>0$
facendo il minimo comune multiplo mi esce $\frac{-8(x-2)-2x^4-x^3(x+2)log(x^2-4)}{4x^3(x+2)}$

Ecco.. ora sono incasinata.. :S cioè.. come faccio a vedere quando tutto il numeratore è >0?

[dustofstar]

"Euphurio":Allora il limite per [tex]x\to2^+[/tex] è semplice. Devi applicare la regola di de l'Hôpital. Vediamo insieme come iniziare e poi continui da solo, ok?

[tex]$\lim_{x\to2^+} \frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}[\log{(x^2-4)}] (x-2)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\lim_{x\to2^+} \frac{\log{(x^2-4)}}{\frac{1}{x-2}}=\dots$[/tex]

Nota anche che [tex]$x^2-4=(x-2)(x+2)$[/tex].

Ciao!

Grazie per il suggerimento.. quindi praticamente ho
$1/4- \lim_{x\to2^+} \frac{2x}{(x-2)(x+2)} (-(x-2)^2)=1/4+ \lim_{x\to2^+} \frac{2x}{(x+2)} ((x-2))=1/4+0=1/4$

Ci sono?

[Euphurio]

"dustofstar":Ci sono?

ci sei