Studio di funzione!
Ho qualche problema con uno studio di funzione! Più che altro mi sono bloccato sulla derivata prima.
La funzione è: $f(x) = (arcsin (1/(1-x))-\pi/4)^-1$
Quando sono andato a derivare ho trovato:
$f'(x)= (arcsin (1/(1-x))-\pi/4)^-2 * 1/(sqrt(x(x-2))*(1-x))$
Invece dovrebbe venire:
$f'(x)= (arcsin (1/(1-x))-\pi/4)^-2 * 1/(sqrt(x(x-2))*|1-x|)$
E non riesco a capire perchè c'è quel modulo!
Inoltre ho un paio di domande (che poi è il motivo per cui il titolo è "Studio di funzione!" e non "Problema con una derivata!"
).
Dopo aver fatto la derivata prima il libro fa il limite nei punti in cui quella derivata non esiste e semplicemente così riesce a dire che esistono due intervalli di convessità, due intervalli di concavità e un punto di flesso! Sinceramente io ho bisogno di fare la derivata seconda per scoprire queste cose.. in base a che lo dice prima?
Poi vorrei una conferma! Dopo aver calcolato la derivata seconda ho trovato un intervalli di concavità e uno di convessità grazie al teorema della permanenza del segno! Praticamente ho fatto il limite della derivata seconda a due punti in cui questa non esiste, mi è venuto una volta $+oo$ e una volta $-oo$, in questo modo ho detto che almeno in un intervallo la funzione è concava e in un altro è convessa!
E invece il flesso l'ho trovato con il teorema dei valori intermedi, so che la funzione è decrescente su tutto R (dalla derivata prima), so che essendo continua deve avere sempre dei valori in un intervallo chiuso e so che a $x=1-sqrt2$ la funzione ha un asintoto verticale quindi deve per forza cambiare concavità! Non credo di essermi spiegato bene, ma sinceramente non sono sicuro che la cosa sia corretta quindi non so spiegarlo meglio!
Grazie in anticipo
La funzione è: $f(x) = (arcsin (1/(1-x))-\pi/4)^-1$
Quando sono andato a derivare ho trovato:
$f'(x)= (arcsin (1/(1-x))-\pi/4)^-2 * 1/(sqrt(x(x-2))*(1-x))$
Invece dovrebbe venire:
$f'(x)= (arcsin (1/(1-x))-\pi/4)^-2 * 1/(sqrt(x(x-2))*|1-x|)$
E non riesco a capire perchè c'è quel modulo!
Inoltre ho un paio di domande (che poi è il motivo per cui il titolo è "Studio di funzione!" e non "Problema con una derivata!"
).Dopo aver fatto la derivata prima il libro fa il limite nei punti in cui quella derivata non esiste e semplicemente così riesce a dire che esistono due intervalli di convessità, due intervalli di concavità e un punto di flesso! Sinceramente io ho bisogno di fare la derivata seconda per scoprire queste cose.. in base a che lo dice prima?
Poi vorrei una conferma! Dopo aver calcolato la derivata seconda ho trovato un intervalli di concavità e uno di convessità grazie al teorema della permanenza del segno! Praticamente ho fatto il limite della derivata seconda a due punti in cui questa non esiste, mi è venuto una volta $+oo$ e una volta $-oo$, in questo modo ho detto che almeno in un intervallo la funzione è concava e in un altro è convessa!
E invece il flesso l'ho trovato con il teorema dei valori intermedi, so che la funzione è decrescente su tutto R (dalla derivata prima), so che essendo continua deve avere sempre dei valori in un intervallo chiuso e so che a $x=1-sqrt2$ la funzione ha un asintoto verticale quindi deve per forza cambiare concavità! Non credo di essermi spiegato bene, ma sinceramente non sono sicuro che la cosa sia corretta quindi non so spiegarlo meglio!
Grazie in anticipo
Risposte
ti rispondo solo sul perchè del modulo il resto non sono sicuro di averlo capito bene, comunque il modulo nasce dal fatto che tu hai sotto radice (1-x)^2 e quindi se vuoi farlo uscire dalla radice levandoci il quadrato ci devi mettere il modulo, ad esempio radice di x^2 è modulo di x, non x, perchè non puo mai fare un numero negativo radice di x^2
Ma quel $1-x$ non viene dalla radice! Se vado a derivare viene la derivata della potenza che moltiplica la derivata della base che moltiplica la derivata dell'argomento dell'arcoseno! Quindi:
$ 1/(sqrt (x(x-2))/|1-x|) * 1/(1-x)^2$
Quindi andando a semplificare il modulo non viene! Sbaglio qualche cosa io durante lo svolgimento?
$ 1/(sqrt (x(x-2))/|1-x|) * 1/(1-x)^2$
Quindi andando a semplificare il modulo non viene! Sbaglio qualche cosa io durante lo svolgimento?
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