Studio di funzione..
Buonasera, premetto che quello che so l'ho studiato da solo, quindi sono qua per chiedere conferma di qualche cosa e chiarirmi qualche dubbio!
Ho pensato di mettere una funzione che ho fatto oggi (o almeno c'ho provato!)..
$f(x) = [arcsin (1/(1-x)) - pi/4]^-1$
Si doveva trovare il dominio, studiare le simmetrie, trovare estremo inferiore e superiore, gli insiemi di continuità e derivabilità, i limiti significativi, gli asintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavità e convessità, i flessi (di questi ultimi tre basta dimostrare che esistono due intervalli di convessità, due di concavità e un punto di flesso).
Ho trovato il dominio:
$ D = {(-oo,0 ] U [2,oo) \ {1 - sqrt2}}$
E detto che la funzione è ne pari ne dispari e che è continua perchè somma di funzioni continue.
A sto punto ho calcolato i limiti:
$\lim_{n \to \infty}f(x) = -4/pi$
$\lim_{n \to \-infty}f(x) = -4/pi$
$\lim_{n \to \-sqrt2+1^+}f(x) = oo$
$\lim_{n \to \-sqrt2+1^-}f(x) = -oo$
Poi ho studiato il segno della funzione e visto che è positiva per:
$ -sqrt2+1 < x <= 0$
Calcolato la derivata prima:
$f'(x) = -1/[arcsin (1/(1-x)) - pi/4]^2 * 1/(|1 -x| sqrt(x(x-2)))$
E studiato il segno, quindi ho detto che la derivata prima è sempre minore di 0, quindi che la funzione è strettamente crescente.
Poi ho calcolato la derivata seconda, ma credo ci sia qualcosa che non va perchè mi è venuta fuori una cosa il cui studio del segno che credo sia umanamente impossibile da fare...
Intanto vi ringrazio di essere arrivati fino a qua (se avete saltato tutto quello che ho scritto sopra filate a leggerlo
).. ma ora veniamo alle domande.. preparatevi che sono tante 
Le numero così è più facile rispondere XD
1) Chiede di trovare sup e inf della funzione, come si fa? Sinceramente è una cosa che non ho mai saputo fare...
2) Il libro dice che che $f in C^oo ((-oo,0) U (2,oo) \ {-sqrt2 + 1})$, questo perchè la funzione è derivabile in ogni punto al di fuori di $sqrt2 -1$, $0$, $2$ e la funzione è continua in quell'intervallo per ogni derivata?
3) Come faccio a sapere in che intervallo una funzione è derivabile? È un altra cosa teorica che non so fare..
4) Dopo aver calcolato la derivata prima il libro fa il limite della derivata nei punti in cui non può essere derivata, perchè lo fa?
5) Grazie alle informazioni che derivano dai limiti è possibile dimostrare che esistono due intervalli di concavità, due di convessità e un punto di flesso... perchè è possibile? E come? Sinceramente non sarei in grado di farlo senza derivata seconda..
6) Calcola i limiti anche dopo aver calcolato la derivata seconda..
7) Perchè il libro trova il segno della derivata seconda solo per $x>0$ e $x<-sqrt2 +1$?
8) Come faccio a trovare il punto di flesse senza calcolare il segno della derivata seconda nell'intervallo $(-sqrt2 +1,0)?
9) Chi ve l'ha fatto fare di arrivare fino a qua?
Grazie mille in anticipo a chiunque mi saprà aiutare...
Ho pensato di mettere una funzione che ho fatto oggi (o almeno c'ho provato!)..
$f(x) = [arcsin (1/(1-x)) - pi/4]^-1$
Si doveva trovare il dominio, studiare le simmetrie, trovare estremo inferiore e superiore, gli insiemi di continuità e derivabilità, i limiti significativi, gli asintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavità e convessità, i flessi (di questi ultimi tre basta dimostrare che esistono due intervalli di convessità, due di concavità e un punto di flesso).
Ho trovato il dominio:
$ D = {(-oo,0 ] U [2,oo) \ {1 - sqrt2}}$
E detto che la funzione è ne pari ne dispari e che è continua perchè somma di funzioni continue.
A sto punto ho calcolato i limiti:
$\lim_{n \to \infty}f(x) = -4/pi$
$\lim_{n \to \-infty}f(x) = -4/pi$
$\lim_{n \to \-sqrt2+1^+}f(x) = oo$
$\lim_{n \to \-sqrt2+1^-}f(x) = -oo$
Poi ho studiato il segno della funzione e visto che è positiva per:
$ -sqrt2+1 < x <= 0$
Calcolato la derivata prima:
$f'(x) = -1/[arcsin (1/(1-x)) - pi/4]^2 * 1/(|1 -x| sqrt(x(x-2)))$
E studiato il segno, quindi ho detto che la derivata prima è sempre minore di 0, quindi che la funzione è strettamente crescente.
Poi ho calcolato la derivata seconda, ma credo ci sia qualcosa che non va perchè mi è venuta fuori una cosa il cui studio del segno che credo sia umanamente impossibile da fare...
Intanto vi ringrazio di essere arrivati fino a qua (se avete saltato tutto quello che ho scritto sopra filate a leggerlo
).. ma ora veniamo alle domande.. preparatevi che sono tante Le numero così è più facile rispondere XD
1) Chiede di trovare sup e inf della funzione, come si fa? Sinceramente è una cosa che non ho mai saputo fare...
2) Il libro dice che che $f in C^oo ((-oo,0) U (2,oo) \ {-sqrt2 + 1})$, questo perchè la funzione è derivabile in ogni punto al di fuori di $sqrt2 -1$, $0$, $2$ e la funzione è continua in quell'intervallo per ogni derivata?
3) Come faccio a sapere in che intervallo una funzione è derivabile? È un altra cosa teorica che non so fare..
4) Dopo aver calcolato la derivata prima il libro fa il limite della derivata nei punti in cui non può essere derivata, perchè lo fa?
5) Grazie alle informazioni che derivano dai limiti è possibile dimostrare che esistono due intervalli di concavità, due di convessità e un punto di flesso... perchè è possibile? E come? Sinceramente non sarei in grado di farlo senza derivata seconda..
6) Calcola i limiti anche dopo aver calcolato la derivata seconda..
7) Perchè il libro trova il segno della derivata seconda solo per $x>0$ e $x<-sqrt2 +1$?
8) Come faccio a trovare il punto di flesse senza calcolare il segno della derivata seconda nell'intervallo $(-sqrt2 +1,0)?
9) Chi ve l'ha fatto fare di arrivare fino a qua?
Grazie mille in anticipo a chiunque mi saprà aiutare...
Risposte
"Serxe":
1) Chiede di trovare sup e inf della funzione, come si fa? Sinceramente è una cosa che non ho mai saputo fare...
Il sup è per definizione il minimo dei maggioranti della funzione.. Cioè quel punto $\alpha$ per cui valgono le seguenti relazioni:
1) $f(x) \leq \alpha$ per ogni $x\inD$ dove $D$ è il dominio
2) per $f(c) < \alpha$ dove $f(c)$ è un punto del codominio, ESISTE un punto del codominio, chiamiamolo $f(d)$ tale che $f(c) < f(d) < \alpha$. L'idea è che c'è sempre un punto che supera f(c).. ovviamente se siamo in un sottoinsieme dei REALI!
Quindi in teoria dovresti trovarti degli ipotetici massimi e minimi della funzione.. ASSOLUTI.. ma attenzione che il sup e l'inf non sempre appartengono all'insieme considerato!!!!
Il resto in caso dopo cena..
"Serxe":
3) Come faccio a sapere in che intervallo una funzione è derivabile? È un altra cosa teorica che non so fare..
Beh.. detto così è molto vago.
Se una funzione è derivabile in un punto $x$ allora $lim_{x \to c}f$ $'$$(x) - f$ $'$$(c) = 0$, ossia la derivata è continua in quel punto e il suo valore in quel punto deve essere FINITO.Quindi il limite deve ESISTERE. Ma questa è una condizione sufficiente.. allora per esserne certi(nel caso in cui le ipotesi non siano soddisfatte) meglio ricorrere alla definizione di derivata.. usando quindi il limite del rapporto incrementale.
Ovviamente (sinceramente non ho mai trovato studi di funzioni non derivabili in interi intervalli, se non quelli esclusi dal dominio, è ovvio), puoi trovare punti di non derivabilità.. quindi punti angolosi, cuspidali etc..
4) Dopo aver calcolato la derivata prima il libro fa il limite della derivata nei punti in cui non può essere derivata, perchè lo fa?
Te l'ho detto perchè.. perchè in quei punti il limite potrebbe avere valore finito, come valori infiniti.. in questo modo capisce la natura di questi punti di non derivabilità
5) Grazie alle informazioni che derivano dai limiti è possibile dimostrare che esistono due intervalli di concavità, due di convessità e un punto di flesso... perchè è possibile? E come? Sinceramente non sarei in grado di farlo senza derivata seconda..
Potresti spiegarti meglio??
6) Calcola i limiti anche dopo aver calcolato la derivata seconda..
Stessa cosa di prima..
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