Studio di funzione
Ciao a tutti!!
Devo fare uno studio di funzione, ma non sono sicura dei passaggi che ho fatto...
La funzione è: $f(x)= ln(1-sqrt(x+2))+x$
*Ho fatto il CE: $1-sqrt(x+2)>0$, che risulta essere $sqrt(x+2)<1$
e ho svolto il sistema:
$x+2>=0$
$1>0$
$x+2<1$
ottenendo: $-2<=x<-1$
*Ho cercato eventuali simmetrie ma non ne ho trovate (la funzione non è ne pari, ne dispari)
*Stavo cercando le intersezioni con gli assi:
Con $x=0$
Ho: $ln(1-sqrt(2))$ e, quindi, l'argomento del logaritmo sarebbe $<0$
$=>$ non ci sono intersezioni con l'asse y.
Con $y=0$ ho qualche problema, avrei: $ln(1-sqrt(x+2))+x=0$
Ma, come faccio a risolverla..? Sono bloccata...
*Il problema mi si ripropone anche dopo, quando faccio la positività, perchè dovrei risolvere: $ln(1-sqrt(x+2))+x>=0$
*Sono passata allora ai limiti agli estremi del CE e, dovrei svolgere solo: $lim_(x -> -1^(+)) ln(1-sqrt(x+2))+x$, giusto?
Però anche qui ho dei dubbi sul risultato del mio limite...
Grazie a chiunque mi possa aiutare!!
Devo fare uno studio di funzione, ma non sono sicura dei passaggi che ho fatto...
La funzione è: $f(x)= ln(1-sqrt(x+2))+x$
*Ho fatto il CE: $1-sqrt(x+2)>0$, che risulta essere $sqrt(x+2)<1$
e ho svolto il sistema:
$x+2>=0$
$1>0$
$x+2<1$
ottenendo: $-2<=x<-1$
*Ho cercato eventuali simmetrie ma non ne ho trovate (la funzione non è ne pari, ne dispari)
*Stavo cercando le intersezioni con gli assi:
Con $x=0$
Ho: $ln(1-sqrt(2))$ e, quindi, l'argomento del logaritmo sarebbe $<0$
$=>$ non ci sono intersezioni con l'asse y.
Con $y=0$ ho qualche problema, avrei: $ln(1-sqrt(x+2))+x=0$
Ma, come faccio a risolverla..? Sono bloccata...
*Il problema mi si ripropone anche dopo, quando faccio la positività, perchè dovrei risolvere: $ln(1-sqrt(x+2))+x>=0$
*Sono passata allora ai limiti agli estremi del CE e, dovrei svolgere solo: $lim_(x -> -1^(+)) ln(1-sqrt(x+2))+x$, giusto?
Però anche qui ho dei dubbi sul risultato del mio limite...
Grazie a chiunque mi possa aiutare!!
Risposte
Con $y=0$ ho qualche problema, avrei: $ln(1-sqrt(x+2))+x=0$
Ma, come faccio a risolverla..? Sono bloccata...
Considera separatamente
$ln(1-sqrt(x+2))$
e $x$
e individua i valori delle espressioni agli estremi dell'intervallo del dominio.
Sono entrambe monotone, anche quando le sommi cosa puoi concludere ?
(Oppure fai una maggiorazione della x, insomma, mi sembra abbastanza banale concludere.
*Sono passata allora ai limiti agli estremi del CE e, dovrei svolgere solo: $lim_(x -> -1^(+)) ln(1-sqrt(x+2))+x$, giusto?
Naaaaa, guarda bene l'intervallo di esistenza e da che parte hai fatto tendere il limite a -1.
(A parte che il log "da quel lato" può fare solo una cosa....)
Il limite tende a $-1^(-)$
Mmh..quindi svolgo prima $ln(1-sqrt(x+2))=0$ e poi $x=0$?
ma poi cosa devo fare..? metto insieme le soluzioni ottenute e controllo che stiano all'interno del CE?
Per il limite hai ragione x tende a $-1^(-)$
Ma il problema mi rimane comunque.........
ma poi cosa devo fare..? metto insieme le soluzioni ottenute e controllo che stiano all'interno del CE?
Per il limite hai ragione x tende a $-1^(-)$
Ma il problema mi rimane comunque.........
Aspe'.
Hai detto giustamente che la funzione esiste solo in $-2<=x<-1$
Preoccupati di cosa fa solo in quell'intervallo.
E prova a rifare quel ragionamento che ti proponevo (è abbastanza immediato).
Fuori dal dominio la funzione non esiste, non c'è. E' difficile che faccia zero quando non esiste
.
Hai detto giustamente che la funzione esiste solo in $-2<=x<-1$
Preoccupati di cosa fa solo in quell'intervallo.
E prova a rifare quel ragionamento che ti proponevo (è abbastanza immediato).
Fuori dal dominio la funzione non esiste, non c'è. E' difficile che faccia zero quando non esiste
.
Allora dato che le equazioni logaritmiche non me le ricordo bene scrivo tutti i passaggi:
$ln(1-sqrt(x+2)) = 0$
$1-sqrt(x+2) = 1$
$sqrt(x+2)=0$
Poi, ora, che ho una bella equazione irrazionale, elevo da entrambe le parti e ottengo:
$x+2=0$
$x=-2$
Ma $-2$ appartiene al CE, quindi avrò intersezioni con l'asse x nel punto (0,-2)!
$ln(1-sqrt(x+2)) = 0$
$1-sqrt(x+2) = 1$
$sqrt(x+2)=0$
Poi, ora, che ho una bella equazione irrazionale, elevo da entrambe le parti e ottengo:
$x+2=0$
$x=-2$
Ma $-2$ appartiene al CE, quindi avrò intersezioni con l'asse x nel punto (0,-2)!
ti ricordo che
"Sweet_Fra":e non solo $ln(1-sqrt(x+2))$
La funzione è: $f(x)= ln(1-sqrt(x+2))+x$
Come si risolve dunque $f(x)=0$? Ci vuole un po' di intuito, un po' di occhio. ($f(x)=ln(1-sqrt(x+2)) +x$)
Il dominio è $[-2,-1)$, quindi, se c'è una soluzione, appartiene a quell'insieme.
Se $x= -2$, come dici tu, si ha che la parte del logaritmo si annulla, quindi $f(-2)= -2!=0$
Se $x in (-2,-1)$ abbiamo che $1-sqrt(x+2)$ è compreso tra $0$ e $1$, quindi il suo logaritmo è un numero negativo.
Se ad esso aggiungi $x$ (che è negativo, dato che $x in [-2,-1]$) hai che la somma è un numero negativo.
Quindi non può essere $0$.
In conclusione, non ci sono $x$ nel dominio tali che $f(x)=0$
Il dominio è $[-2,-1)$, quindi, se c'è una soluzione, appartiene a quell'insieme.
Se $x= -2$, come dici tu, si ha che la parte del logaritmo si annulla, quindi $f(-2)= -2!=0$
Se $x in (-2,-1)$ abbiamo che $1-sqrt(x+2)$ è compreso tra $0$ e $1$, quindi il suo logaritmo è un numero negativo.
Se ad esso aggiungi $x$ (che è negativo, dato che $x in [-2,-1]$) hai che la somma è un numero negativo.
Quindi non può essere $0$.
In conclusione, non ci sono $x$ nel dominio tali che $f(x)=0$
Ah ok, perfetto! grazie mille, ora ho capito!
In ultimo: quindi facendo la positività, cioè la mia $f(x)>=0$ avrò che la funzione è sempre negativa, quindi potrò andare a cancellare la porzione di grafico al di sopra dell'asse x, giusto?
Grazie ancora!
In ultimo: quindi facendo la positività, cioè la mia $f(x)>=0$ avrò che la funzione è sempre negativa, quindi potrò andare a cancellare la porzione di grafico al di sopra dell'asse x, giusto?
Grazie ancora!
Giusto
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