Studio di Funzione
Ho questo esercizietto che mi farà impazzire, è uno studio di funzione...
$ f(x) = arctg(x/(x+1)) - ln( x^2 + 2x + 1) $
per velocità, e comodità per le risposte, userò g(x) per l'arctg e h(x) per il ln
Quindi: dominio, simmetrie e periodicità, intersezione con assi, studio del segno, Asintoti
La parte delle derivate per max, min, flessi etc.. la tralasciamo perché se non erro arcotangenti e logaritmi li saluterò (essendo $ 1/(1+x^2) $ e $ 1/x $ le derivate generali, rispettivamente)
mentre mi incarto per le cose che dovrebbero essere più semplici, quelle sopra dette..
Scusate se scriverò bestemmie matematiche, io ci provo per le cose che "ritengo" siano giuste xP
Dominio:
Per g: $ x-1 != 0 => x != -1 $
Per h: $ x^2 + 2x + 1 > 0 => x != -1 $
Quindi il dominio è $ R \ { -1 } $
Intersezioni con Assi
Per x = 0: $ arctg(0/1) = arctg(0) = 0 $ e $ ln(0 + 0 + 1) = ln(1) = 0 $ => 0-0 = 0
Per y = 0: eh ecco il primo punto, come si risolve quell'equazione f(x) = 0 ?
Simmetrie e Periodicità:
Non credo ci siano, l'arctg è notoriamente dispari ma non il logaritmo quindi credo ci rovini la simmetria.
Studio del segno:
Bhè non ho saputo fare f(x) = 0, peggio con f(x) > 0 xP
Asintoti Verticali:
Niente, per x-> 1+ e x->1- viene ugualmente $ arctg(1/2) - ln(4) $ che è un valore finito
Asintoti Orizzontali:
Niente, basta vedere che il log tende ad infinito per x->inf
Asintoti Obliqui:
cerco m: faccio il limite per $ (g(x))/x = pi/2 $ e $ (h(x))/x = 0$ (per h(x) ho usato de l'hospital)
cerco q: faccio f(x) - x: mi viene infinito, niente asintoti obliqui
ora: ho azzeccato almeno una cosa?
come fare ciò che non so fare e ciò che ho sbagliato?
grazie grazie grazie!
$ f(x) = arctg(x/(x+1)) - ln( x^2 + 2x + 1) $
per velocità, e comodità per le risposte, userò g(x) per l'arctg e h(x) per il ln
Quindi: dominio, simmetrie e periodicità, intersezione con assi, studio del segno, Asintoti
La parte delle derivate per max, min, flessi etc.. la tralasciamo perché se non erro arcotangenti e logaritmi li saluterò (essendo $ 1/(1+x^2) $ e $ 1/x $ le derivate generali, rispettivamente)
mentre mi incarto per le cose che dovrebbero essere più semplici, quelle sopra dette..
Scusate se scriverò bestemmie matematiche, io ci provo per le cose che "ritengo" siano giuste xP
Dominio:
Per g: $ x-1 != 0 => x != -1 $
Per h: $ x^2 + 2x + 1 > 0 => x != -1 $
Quindi il dominio è $ R \ { -1 } $
Intersezioni con Assi
Per x = 0: $ arctg(0/1) = arctg(0) = 0 $ e $ ln(0 + 0 + 1) = ln(1) = 0 $ => 0-0 = 0
Per y = 0: eh ecco il primo punto, come si risolve quell'equazione f(x) = 0 ?
Simmetrie e Periodicità:
Non credo ci siano, l'arctg è notoriamente dispari ma non il logaritmo quindi credo ci rovini la simmetria.
Studio del segno:
Bhè non ho saputo fare f(x) = 0, peggio con f(x) > 0 xP
Asintoti Verticali:
Niente, per x-> 1+ e x->1- viene ugualmente $ arctg(1/2) - ln(4) $ che è un valore finito
Asintoti Orizzontali:
Niente, basta vedere che il log tende ad infinito per x->inf
Asintoti Obliqui:
cerco m: faccio il limite per $ (g(x))/x = pi/2 $ e $ (h(x))/x = 0$ (per h(x) ho usato de l'hospital)
cerco q: faccio f(x) - x: mi viene infinito, niente asintoti obliqui
ora: ho azzeccato almeno una cosa?
come fare ciò che non so fare e ciò che ho sbagliato?
grazie grazie grazie!
Risposte
Fin qui ok (a meno di un segno riportato sbagliato nel dominio di [tex]$g(x)$[/tex], che però non ha influenzato il risultato).
Per quanto riguarda il segno della funzione puoi fare uno studio "qualitativo" usando le informazioni che hai dai limiti: infatti hai:
[tex]$\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=-\infty$[/tex],
ergo la tua funzione è negativa per [tex]$x\ll -1$[/tex] oppure [tex]$x\gg 1$[/tex]; ed anche:
[tex]$\lim_{x\to -1} f(x) =+\infty$[/tex]
quindi la tua funzione è positiva intorno a [tex]$-1$[/tex].
Conseguentemente il teorema degli zeri ti dice che c'è almeno un altro punto d'intersezione con l'asse delle ascisse e che tale punto ha ascissa [tex]$<-1$[/tex].
Ora ti rimane da lavorare con le derivate, le quali ti aiuteranno anche a dire se ci sono altri punti d'intersezione o meno con l'asse delle ascisse.
Per quanto riguarda il segno della funzione puoi fare uno studio "qualitativo" usando le informazioni che hai dai limiti: infatti hai:
[tex]$\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=-\infty$[/tex],
ergo la tua funzione è negativa per [tex]$x\ll -1$[/tex] oppure [tex]$x\gg 1$[/tex]; ed anche:
[tex]$\lim_{x\to -1} f(x) =+\infty$[/tex]
quindi la tua funzione è positiva intorno a [tex]$-1$[/tex].
Conseguentemente il teorema degli zeri ti dice che c'è almeno un altro punto d'intersezione con l'asse delle ascisse e che tale punto ha ascissa [tex]$<-1$[/tex].
Ora ti rimane da lavorare con le derivate, le quali ti aiuteranno anche a dire se ci sono altri punti d'intersezione o meno con l'asse delle ascisse.
Mi sono accorto di aver fatto un errore nel calcolo dell'asintoto verticale, io l'ho cercato per x->1+ e x->1- quando era x->-1+ e x->-1-!!
Mi sorge un dubbio generico, sui limiti all'infinito però.
In una semplice funzione razionale fratta ci si può rendere conto se il limite va a 0, infinito o tende ad un valore finito semplicemente dai gradi di Numeratore e Denominatore, ma vale la stessa cosa per gli argomenti di funzioni trigonometriche e trascendenti? (ad es. l'arcotg nella mia funzione) ??
Mi sorge un dubbio generico, sui limiti all'infinito però.
In una semplice funzione razionale fratta ci si può rendere conto se il limite va a 0, infinito o tende ad un valore finito semplicemente dai gradi di Numeratore e Denominatore, ma vale la stessa cosa per gli argomenti di funzioni trigonometriche e trascendenti? (ad es. l'arcotg nella mia funzione) ??
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