Studio di Funzione
Ciao a Tutti. Ho fatto uno studio di funzione ma poi quando sono andato a controllare il risultato c'era qualcosina che non mi quadrava. La funzione da studiare è questa:$y=(x-1)/(x+1)$. Dominio tutto $RR$ tranne -1. Intersezione con gli assi $A(1,0) $ e $B(0,-1)$. Ho fatto i limiti agli estremi e ottengo per $x->-1$ asintoto verticale $x=-1$ ma poi quando faccio l'altro limite per $x->+-oo$ ho pensato di usare De L'Hopital per togliere l'indeterminazione e ottengo la derivata e cioè $y'=2/(x+1)^2$ da cui ottengo che l limite fa $0$ ma a loro viene $y=1$ come mai?
Poi quando vado a studiare dove la funzione è maggiore, minore ecc... dopo aver posto $y>0$ ottengo $x>1 $ e $x> -1$ quindi facendo il sistemino $y>1$ invece loro ottengono $x<-1$ e $x>1$ ma perchè?
Poi pongo $y<0$ e ottengo dopo avere fatto il sistemino $y<-1$ e invece loro ottengono $-1
Grazie anticipatamente
Poi quando vado a studiare dove la funzione è maggiore, minore ecc... dopo aver posto $y>0$ ottengo $x>1 $ e $x> -1$ quindi facendo il sistemino $y>1$ invece loro ottengono $x<-1$ e $x>1$ ma perchè?
Poi pongo $y<0$ e ottengo dopo avere fatto il sistemino $y<-1$ e invece loro ottengono $-1
Grazie anticipatamente
Risposte
De l'Hopital per quel limite?!!? Dai su....
E poi, hai letto bene la regola di De L'Hopital?
E poi, hai letto bene la regola di De L'Hopital?
Posso dirti questo
$(x-1)/(x+1)$ = $(x+1-2)/(x+1)$ = $(x+1)/(x+1) - 2/(x+1)$ , che $AA x in R\\{-1}$ diventa $1 -2/(x+1)$
Questo dovrebbe semplificarti un po' le cose
$(x-1)/(x+1)$ = $(x+1-2)/(x+1)$ = $(x+1)/(x+1) - 2/(x+1)$ , che $AA x in R\\{-1}$ diventa $1 -2/(x+1)$
Questo dovrebbe semplificarti un po' le cose
Hai applicato male De L'Hopital come ha detto K.Lomax.
A parte questo, hai il limite per $x->+oo$ oppure $-oo$ di un rapporto di polinomi. Sicuramente ti è stato detto che bisogna considerare il termine di grado massimo sia a numeratore sia a denominatore e confrontarli:
Se il grado del numeratore è superiore, allora la funzione tende all'infinito (A te stabilire se $+oo$ o $-oo$). Se è il denominatore ad avere grado maggiore la funzione tende a zero. Se numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, il limite è dato dal rapporto dei coefficiente del termine di grado massimo.
[mod="dissonance"]Tolto un dollaro di troppo.[/mod]
A parte questo, hai il limite per $x->+oo$ oppure $-oo$ di un rapporto di polinomi. Sicuramente ti è stato detto che bisogna considerare il termine di grado massimo sia a numeratore sia a denominatore e confrontarli:
Se il grado del numeratore è superiore, allora la funzione tende all'infinito (A te stabilire se $+oo$ o $-oo$). Se è il denominatore ad avere grado maggiore la funzione tende a zero. Se numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, il limite è dato dal rapporto dei coefficiente del termine di grado massimo.
[mod="dissonance"]Tolto un dollaro di troppo.[/mod]
Sisi, infatti l'ho notato subito di avere sbagliato ad applicare De L'hopital che tralatro nemmeno ce ne era il bisogno 
Grazie lo stesso
Per la seconda cosa invece? Quella delle disequazioni?
Grazie lo stessoPer la seconda cosa invece? Quella delle disequazioni?
Se ho capito bene, tu hai fatto un grafico di sistema mentre dovevi fare un grafico di segno !
Non è richiesto sapere quando numeratore e denominatore sono entrambi positivi, ma quando il loro rapporto è positivo. Cioè quando sono entrambi positivi . . . ma anche quando sono entrambi negativi !
Non è richiesto sapere quando numeratore e denominatore sono entrambi positivi, ma quando il loro rapporto è positivo. Cioè quando sono entrambi positivi . . . ma anche quando sono entrambi negativi !
Aggiungo che mi sembra che tu ti stia perdendo in un bicchiere d'acqua, magari è meglio se ti concedi un attimino di pausa in modo da riuscire a concentrarti meglio.
Ovviamente è solo una mia impressione eh, ben inteso !
Ovviamente è solo una mia impressione eh, ben inteso !
Scusa, ma quale sistemino devi risolvere per il segno? Semplicemente devi porre la funzione strettamente $>0$ e trovare gli intervalli in cui essa è verificata. Ti ricordi la regola dei segni? Dai, dai forza. Facci sapere.
Ciao.
Ciao.
Bisogna appunto disegnare un grafico dei segni, non impostare un sistema.
Il rapporto tra i due polinomi è positivo se numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi. Per comodità li studiamo entrambi positivi (le soluzioni sono le stesse) per cui ottieni (come hai correttamente scritto):
- al numeratore $x>1$
- al denominatore $x> -1$
Astraendo un pò dallo schemino otterai i seguenti rapporti di segno:
- $f(x)>0$ in $(-\infty, -1) uu (1, +\infty)$ (prodotto dei segni: $-*-$ e $+*+$)
- $f(x)<0$ in $(-1,1)$ (prodotto dei segni: $-*+$)
Il rapporto tra i due polinomi è positivo se numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi. Per comodità li studiamo entrambi positivi (le soluzioni sono le stesse) per cui ottieni (come hai correttamente scritto):
- al numeratore $x>1$
- al denominatore $x> -1$
Astraendo un pò dallo schemino otterai i seguenti rapporti di segno:
- $f(x)>0$ in $(-\infty, -1) uu (1, +\infty)$ (prodotto dei segni: $-*-$ e $+*+$)
- $f(x)<0$ in $(-1,1)$ (prodotto dei segni: $-*+$)
Ah ok. La qustione è che io pensavo di risolvere quella disequazione con il metodo che si usa per risolvere le disequazioni ovvero fare il sistemino e vedere dove sono entrambe positive o negative, non pensavo si dovessero considerare separatamente 
Quando risolvi una disequazione non c'è nessun sistema da fare !
Studi quando numeratore e denominatore sono positivi e fai un grafico di segno.
Nel nostro caso:
$N>0:$ sse $x>1$
$D>0$ sse $x>-11$.
A questo punto si deve fare il grafico di segno:
.....-1.....1
- - -|- - -|_____
- - -|___|_____
...+....-.....+
Dunque la funzione è positiva negli intervalli $(-oo ; -1)$ e $(1 ; +oo)$.
Scusami per l'obrobrioso grafico di segno . . è il meglio che ho potuto fare !
@Dissonance: Grazie per la correzione, non ci avevo fatto caso
Studi quando numeratore e denominatore sono positivi e fai un grafico di segno.
Nel nostro caso:
$N>0:$ sse $x>1$
$D>0$ sse $x>-11$.
A questo punto si deve fare il grafico di segno:
.....-1.....1
- - -|- - -|_____
- - -|___|_____
...+....-.....+
Dunque la funzione è positiva negli intervalli $(-oo ; -1)$ e $(1 ; +oo)$.
Scusami per l'obrobrioso grafico di segno . . è il meglio che ho potuto fare !
@Dissonance: Grazie per la correzione, non ci avevo fatto caso
Ah scusatemi tanto che sbadataggine. Guardavo soltanto gli intervalli in cui erano entrambe positive non pensando che anche quando sono entrmbe negative il rapporto è positivo Scusate davvero e grazie
Ehy ragazzi, nel frattempo ho fatto lo studio di questa funzione, ma poi chè non ho l risultati ve ne sarei grato se deste un'occhiatina per vedere se è corretto.
La funzione è : $y=1/(4+x^2)$
Per prima cosa troviamo il dominio che è $D=(-oo;-2)U(-2;+2)U(+2;+oo)$.
Troviamo le intersezioni con gli assi e ce ne è soltanto una e cioè $A(0;1/4)$
A questo punto poniamo la funz. $y>0$ e trovo che $1>0$ sempre e $4+x^2$ pure ( ricordando le regole delle disequazioni)
Poniamo $y<0$ e vediamo che non lo è mai.
A quasto punto faccio i limiti e in un solo colpo sostituendo il valore trovo che non esistono as.verticali perchè il limite viene $1/8$ ma esiste un asintoto orizzontale per $x->+-oo$ ed è $y=0$.
A questo punto facciamo la derivata ottenendo $y'=-(2x)/(4+x^2)^2$ e quella seconda $y''=(2(3x^2-4))/(x^2+4)^3$
Per trovare eventuali punti critici pongo $y'=0$ e trovo $x=0$ che vado a sostituire nella der. seconda che diventa minore di zero quindi è un punto si massimo. Ma come può essere che 0 è massimo se la funzione è tutta sopra l'asse delle x? Ho solo un grafico fatto con un programma è c'è un punto dell'asse y un po sopra 0,2 che è un massimo. Quale è questo punto?
Scusate davvero e grazieEhy ragazzi, nel frattempo ho fatto lo studio di questa funzione, ma poi chè non ho l risultati ve ne sarei grato se deste un'occhiatina per vedere se è corretto.
La funzione è : $y=1/(4+x^2)$
Per prima cosa troviamo il dominio che è $D=(-oo;-2)U(-2;+2)U(+2;+oo)$.
Troviamo le intersezioni con gli assi e ce ne è soltanto una e cioè $A(0;1/4)$
A questo punto poniamo la funz. $y>0$ e trovo che $1>0$ sempre e $4+x^2$ pure ( ricordando le regole delle disequazioni)
Poniamo $y<0$ e vediamo che non lo è mai.
A quasto punto faccio i limiti e in un solo colpo sostituendo il valore trovo che non esistono as.verticali perchè il limite viene $1/8$ ma esiste un asintoto orizzontale per $x->+-oo$ ed è $y=0$.
A questo punto facciamo la derivata ottenendo $y'=-(2x)/(4+x^2)^2$ e quella seconda $y''=(2(3x^2-4))/(x^2+4)^3$
Per trovare eventuali punti critici pongo $y'=0$ e trovo $x=0$ che vado a sostituire nella der. seconda che diventa minore di zero quindi è un punto si massimo. Ma come può essere che 0 è massimo se la funzione è tutta sopra l'asse delle x? Ho solo un grafico fatto con un programma è c'è un punto dell'asse y un po sopra 0,2 che è un massimo. Quale è questo punto?
Cominciamo dall'inizio: Sei sicuro che il dominio sia proprio quello ?
Si ne sono sicuro perchè per ogni funzione razionale il dominio è tutto $RR$ tranne i valori che annullano il den. e il den $4+x^2=0$ quando $x=+2$ e $x=-2$ quindi il dom va da $-oo$ a -2 poi comprende tutti i valori tra -2 e 2 e poi va da 2 a infnito. Sei sicuro tu invece?
E poi i limiti mi vengono esatti quindi se il dominio non fosse stato non lo sarebbero stati. O è stato un caso?
E poi i limiti mi vengono esatti quindi se il dominio non fosse stato non lo sarebbero stati. O è stato un caso?
Sei proprio sicuro che $2^2+4=0 $ e che $(-2)^2+4=0$?
Riconsidera bene il dominio : che soluzione ha l'equazione $x^2+4 =0 $ nel campo reale ??
"AlexlovesUSA":
A questo punto facciamo la derivata ottenendo $y'=-(2x)/(4+x^2)^2$ e quella seconda $y''=(2(3x^2-4))/(x^2+4)^3$
Per trovare eventuali punti critici pongo $y'=0$ e trovo $x=0$ che vado a sostituire nella der. seconda che diventa minore di zero quindi è un punto si massimo. Ma come può essere che 0 è massimo se la funzione è tutta sopra l'asse delle x? Ho solo un grafico fatto con un programma è c'è un punto dell'asse y un po sopra 0,2 che è un massimo. Quale è questo punto?
Premesso che il dominio non è quello che hai scritto tu, ma è molto più banale [ci puoi arrivare facilmente],
Guardando la derivata noti che $y' >0 AAx <0$ , $y'<0 AAx >0$ e infine $y'=0$ se $x=0$
Dunque la funzione è crescente in $(-oo , 0)$, ha un punto di stallo in $0$, e poi è descrescente in $(0, -oo)$
Inoltre i limiti della funzione a $-oo$ e a $+oo$ sono entrambi $0$.
Pertanto il punto di massimo sarà $f(0)$, che non è $0$ come hai scritto tu... Bensì....
Scusate ragazzi. Nel testo che ho copiato c'era una cosa sbagliata quindi mi è sballato tutto. Essendo il denominatore $x^2+4$ allora è sempre maggiore di 0 quindi il domnino della funzione è $D=(-oo;+oo)$.
Nel testo che avevo copiato io il denominatore era $x^2-4$ quindi mi veniva come dicevo preedetemente
@gi8: Si per quanto riguarda il dominio non ci sono + problemi.
Per quanto riguarda la derivata è giusto quello che dici.
Per i limiti venvano 0 anche a me quindi non c'è problema.
Dopo che trovo che lo zero è un punto di stallo e lo sostituisco trovo quindi l'ordinata del punto che è quella per cui passa la funzione. Poichè la funzione cambia in zero quel punto è un punto di massimo. Avrei potuto verificare ciò anche imponendo la drivata prima uguale a 0 e poi sostituire il valore del punto ottenuto nella derivata seconda e vedere se era max min o flesso. Giusto?
Nel testo che avevo copiato io il denominatore era $x^2-4$ quindi mi veniva come dicevo preedetemente
@gi8: Si per quanto riguarda il dominio non ci sono + problemi.
Per quanto riguarda la derivata è giusto quello che dici.
Per i limiti venvano 0 anche a me quindi non c'è problema.
Dopo che trovo che lo zero è un punto di stallo e lo sostituisco trovo quindi l'ordinata del punto che è quella per cui passa la funzione. Poichè la funzione cambia in zero quel punto è un punto di massimo. Avrei potuto verificare ciò anche imponendo la drivata prima uguale a 0 e poi sostituire il valore del punto ottenuto nella derivata seconda e vedere se era max min o flesso. Giusto?
Mi sa che fai un pò di confusione. Il sistema si utilizza in altri casi come, ad esempio, il calcolo di domini di funzioni composte.
Il dominio di una funzione razionale fratta, come quella da te postata, include tutti e soli i valori per i quali il denominatore sia diverso da zero e non maggiore fai attenzione.
$x^2+4 = 0 \to x^2=-4$, ma ciò è impossibile perchè la potenza di un numero reale con esponente pari è sempre e solo un numero positivo, mai negativo.
Pertanto $x^2 = -4$ è impossibile, ragion per la quale l'equazione non ha soluzioni e, di conseguenza, il dominio della funzione è l'intero insieme $R$.
$x^2+4 = 0 \to x^2=-4$, ma ciò è impossibile perchè la potenza di un numero reale con esponente pari è sempre e solo un numero positivo, mai negativo.
Pertanto $x^2 = -4$ è impossibile, ragion per la quale l'equazione non ha soluzioni e, di conseguenza, il dominio della funzione è l'intero insieme $R$.
Si capito. Credo di sapere come si risolve un'equazione di secondo grado. Non è questo il problema. Il problema è che avevo sbagliatoa copiare il testo dell'esercizio e quindi mi veniva tutto sbagliato 
Grazie per le risposte, se avrò qualche altro problemino, lo posterò subito. Ciao
Grazie per le risposte, se avrò qualche altro problemino, lo posterò subito. Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo