Studio di funzione

[Hajra]

Disegnare il grafico della funzione utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalla sua derivata prima e seconda.

[math]f(x)= \frac{(ln|x|)^2}{x}[/math]

Dominio:

[math]\forall x \in R-[0]
\\ D: (-\infty ; 0)U(0 ; +\infty)[/math]

Simmetria:

[math]f(-x) = \frac{(ln|-x|)^2}{-x}[/math]

la funzione è dispari quindi è simmetrico rispetto all'origine

Positività:

[math]\frac{(ln|x|)^2}{x} > 0
\\ N: (ln|x|)^2 > 0 \Rightarrow \forall x \in R
\\ D: x>0[/math]

Asintoti Verticale:

[math]lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{(ln|x|)^2}{x}=+\infty
\\ lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{(ln|x|)^2}{x}=-\infty[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

allora ho fatto ma non sono convinta ti dico la verità

[ciampax]

Ok, tutto corretto. Solo, quando finisci la positività, scrivi che la funzione è positiva per

[math]x>0[/math]

altrimenti sembra incompleto. E puoi anche trovare le intersezioni con l'asse x (quelle con l'asse y non esistono, invece).

[Hajra]

Intersezione con gli assi:

metto in sistema:

[math]y=0 \\ \frac{(ln|x|)^2}{x} = 0 [/math]

risolvo questo e mi da come risultato

[math]x = \pm1[/math]

[math]A(-1 ; 0)\\ B(+1 ; 0)[/math]

[ciampax]

Corretto. Adesso calcola i limiti per

[math]x\to\pm\infty[/math]

e le derivate.

[Hajra]

Asintoto Orizzontale:
senza che calcolo, sappiamo che al numeratore ho il logarittimo mentre al denomintore ho x, quindi

[math]lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{(ln|x|)^2}{x}=0\\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{(ln|x|)^2}{x}= 0[/math]

Derivata :

[math]f(x)= e^n \Rightarrow f'(x)= ne^{n-1}
\\ f'(x)= \frac{2(ln|x|)* \frac{1}{x}}{x^2}[/math]

[ciampax]

Derivata sbagliata: devi usare la regola di derivazione di un quoziente.

[Hajra]

[math]f'(x) = \frac{2(ln|x|)*\frac{1}{x}* x - 1 (ln|x|)^2}{x^2}\\f'(x) = \frac{2(ln|x|)-(ln|x|)^2}{x^2}[/math]

[ciampax]

Ok, ora va bene.

[Hajra]

ora se non sbaglio devo mettere la derivata > 0 giusto?

[ciampax]

Anche

[math]\ge 0[/math]

se preferisci, così in un colpo solo trovi sia la monotonia che i massimi/minimi (sono quelli dove la derivata si annulla e cambia il segno)

[Hajra]

allora

[math] \frac{2(ln|x|)-(ln|x|)^2}{x^2} \geq 0[/math]

metto in sistema:

[math]2(ln|x|)-(ln|x|)^2 \geq 0 \\ x^2 > 0[/math]

allora

[math]x^2 > 0 \rightarrow \forall x \in R[/math]

ma la seconda equazione c'è un quadrato quindi cioè come lo risolvo?
(scusa per l'ignoranza)

[ciampax]

Allora, per la prima, poni

[math]t=\ln|x|[/math]

: la disequazione diventa

[math]2t-t^2\ge 0[/math]

che equivale a

[math]t^2-2t\le 0[/math]

. Quest'ultima, in quanto disequazione algebrica di secondo grado, ha come soluzione

[math]0\le t\le 2[/math]

(sai perché?) e quindi ottieni

[math]0\le \ln|x|\le 2\ \Rightarrow\ 1\le |x|\le e^2[/math]

da cui si ricava

[math]-e^2\le x\le -1,\qquad 1\le x\le e^2[/math]

Cocludi trovando massimi e minimi.

[Hajra]

sisi almeno questo si,

[math]-t^2 \geq 0[/math]

[ciampax]

? Non ti seguo, che hai scritto?

[Hajra]

[math]\frac{2(ln|x|)-(ln|x|)^2}{x^2} = 0 \\ln|x|= t \\ 2t- t^2 = 0 \\ 0 < t < 2 \\ 0 < ln|x| < 2 \\ 1 < |x| < e^2 \\ 1 < x < e^2 \land -e^2 < x < -1[/math]

[math]-e^2 [/math]

è il punto massimo

[math]-1 [/math]

è il punto minimo

[math]e^2 [/math]

è il punto massimo

[ciampax]

Mi sa che devi rivederti un attimo le definizioni di massimo e minimo. Le soluzioni che hai trovato ti dicono dove la funzione cresce. Questo vuol dire che nel punto

[math]-e^2[/math]

, per esempio, la funzione assume un valore più piccolo rispetto a quello assunto nel punto

[math]-1[/math]

. La conclusione corretta è la seguente

[math]f(x)[/math]

cresce su

[math](-e^2,-1)\cup(1,e^2)[/math]

[math]f(x)[/math]

decresce su

[math](-\infty,-e^2)\cup(-1,0)\cup(0,1)\cup(e^2,+\infty)[/math]

[math]f(x)[/math]

ha massimo nei punti

[math]M_1(-1,0),\ M_2(e^2,4/e^2)[/math]

[math]f(x)[/math]

ha minimo nei punti

[math]m_1(-e^2,-4/e^2),\ m_2(1,0)[/math]

[Hajra]

hai ragione, avevo messo 2 righe diverse della stessa funzione nel diagramma, dovevo mettere su la stessa riga, ho rifatto e mi porta,l'unica cosa del step precedente da dove esce fuori

[math]-\frac{4}{e^2}[/math]

e

[math]\frac{4}{e^2}[/math]

, adesso sto facendo la derivata 2°

[math]f"(x)= \frac{2(ln|x|)-(ln|x|)^2}{x^2}[/math]

al numeratore ho un differenza quindi prima trovo le derivate separatamente quindi:

[math]f(x) = 2(ln|x|) \rightarrow f'(x) = 0*(ln|x|)+ 2* \frac{1}{x}=\frac{2}{x}\\f(x)= (ln|x|)^2 \rightarrow f'(x) = 2(ln|x|)*\frac{1}{x}=\frac{2(ln|x|)}{x}[/math]

a questo punto la derivata di f(x) è

[math]f'(x)=[\frac{2}{x}- \frac{2(ln|x|)}{x}]\\g'(x) = 2x[/math]

Applico la regola della derivazione di quoziente

[math]f"(x) = \frac{[\frac{2}{x}- \frac{2(ln|x|)}{x}]*x^2 - 2x*(2(ln|x|)-(ln|x|)^2)}{x^4} \\ =\frac{2-2(ln|x|)*x - 2x*(2(ln|x|)-(ln|x|)^2)}{x^4} [/math]

è questa finisce così????

[ciampax]

I valori sono quelli calcolati per la funzione. Infatti

[math]f(\pm e^2)=\frac{(\ln|\pm e^2|)^2}{\pm e^2}=\pm\frac{(\ln e^2)^2}{e^2}=\pm\frac{2^2}{e^2}=\pm\frac{4}{e^2}[/math]

Per quanto riguarda la derivata seconda: a parte che usi ottomilioni di volte la f, e questo fa impazzire chi legge quello che cerchi di fare, alla fine puoi semplificare e fare un po' meglio i conti

[math]f''(x)=\frac{[2-2\ln|x|]\cdot x-2x[2\ln|x|-\ln^2|x|]}{x^4}=\\ \frac{x\cdot[2-2\ln|x|-4\ln|x|+2\ln|x|^2]}{x^4}=\frac{2-6\ln|x|+2\ln|x|^2}{x^3}[/math]