Studio di funzione
[color=#]$f(x)=$
$ |x-1|log|x-1|-x$ per $x$ diverso da $1$
$-1$ per $x=1$
A) f'(x)=???
B) $lim(x->1+)f'(x)=$???
C) $lim(x->1-)f'(x)=$???
D) f(3)=???
E) f'(3)=???
F) la retta tangente al grafico nel punto (3, f(3)) vale ???
G) si disegni il grafico di f(x)
PUNTO 1: posso dividere la funzione f(x) in 4 sottofunzioni date dalla composizione dei due moduli, 1 volta entrambi positivi, 1 entrambi negativi, 1 positivo-negativo ed 1 negativo-positivo??
in genere facendo questa scomposizione mi riusciva piu semplice vedere il grafico ma questa volta se attuo questo procedimento mi esce una parte in piu del grafico che non è contenuta nella f(x): in pratica 2 sottofunzioni mi risultano superflue..perchè??
PUNTO 2: ammettendo che si possa fare come dicevo io, se poi devo cercare la derivata prima, devo farla per ogni sottofunzione ma cosi facendo mi verrebbero 4 valori diversi per la f'(3) e quindi qualcosa non quadra...come devo comportarmi??
PUNTO 3: se la funzione $f(x)=-1$ per $x=1$ quando mi richiede la derivata devo scriverci che li è 0 e quindi ci sarà un punto critico??
PUNTO 4: i limiti richiesti (sempre ammettendo che il ragionamento della scomposizione vada bene) devo svolgerli per ogni sottoderivata ottenuta dalla rispettiva sottofunzione parte della funzione iniziale?? e devo confrontare questi due limiti (destro e sinistro) per vedere se vi siano punti di cuspide, angolosi ecc ecc???
non ci capisco nulla!!!
$ |x-1|log|x-1|-x$ per $x$ diverso da $1$
$-1$ per $x=1$
A) f'(x)=???
B) $lim(x->1+)f'(x)=$???
C) $lim(x->1-)f'(x)=$???
D) f(3)=???
E) f'(3)=???
F) la retta tangente al grafico nel punto (3, f(3)) vale ???
G) si disegni il grafico di f(x)
PUNTO 1: posso dividere la funzione f(x) in 4 sottofunzioni date dalla composizione dei due moduli, 1 volta entrambi positivi, 1 entrambi negativi, 1 positivo-negativo ed 1 negativo-positivo??
in genere facendo questa scomposizione mi riusciva piu semplice vedere il grafico ma questa volta se attuo questo procedimento mi esce una parte in piu del grafico che non è contenuta nella f(x): in pratica 2 sottofunzioni mi risultano superflue..perchè??
PUNTO 2: ammettendo che si possa fare come dicevo io, se poi devo cercare la derivata prima, devo farla per ogni sottofunzione ma cosi facendo mi verrebbero 4 valori diversi per la f'(3) e quindi qualcosa non quadra...come devo comportarmi??
PUNTO 3: se la funzione $f(x)=-1$ per $x=1$ quando mi richiede la derivata devo scriverci che li è 0 e quindi ci sarà un punto critico??
PUNTO 4: i limiti richiesti (sempre ammettendo che il ragionamento della scomposizione vada bene) devo svolgerli per ogni sottoderivata ottenuta dalla rispettiva sottofunzione parte della funzione iniziale?? e devo confrontare questi due limiti (destro e sinistro) per vedere se vi siano punti di cuspide, angolosi ecc ecc???
non ci capisco nulla!!!
Risposte
La funzione è
$f(x)= {(|x-1|log|x-1|-x, if x!=1), (-1, if x=1):}$
giusto?
Ti faccio notare che argomento del valore assoluto è lo stesso, quindi non dovresti avere problemi. Studiamo prima il valore assoluto in $(-\infty, 1)uu(1, +\infty)$
$|x-1|={(x-1, if x>1), (1-x, if x<1):}$
Quindi la funzione $f(x)$ diventa:
$f(x)= {((x-1)log(x-1)-x, if x>1), ((1-x)log(1-x)-x, if x<1), (-1, if x=1):}$
Fin qui ci sei?
$f(x)= {(|x-1|log|x-1|-x, if x!=1), (-1, if x=1):}$
giusto?
Ti faccio notare che argomento del valore assoluto è lo stesso, quindi non dovresti avere problemi. Studiamo prima il valore assoluto in $(-\infty, 1)uu(1, +\infty)$
$|x-1|={(x-1, if x>1), (1-x, if x<1):}$
Quindi la funzione $f(x)$ diventa:
$f(x)= {((x-1)log(x-1)-x, if x>1), ((1-x)log(1-x)-x, if x<1), (-1, if x=1):}$
Fin qui ci sei?
"Mathematico":
La funzione è
$f(x)= {(|x-1|log|x-1|-x, if x!=1), (-1, if x=1):}$
giusto?
Ti faccio notare che argomento del valore assoluto è lo stesso, quindi non dovresti avere problemi. Studiamo prima il valore assoluto in $(-\infty, 1)uu(1, +\infty)$
$|x-1|={(x-1, if x>1), (1-x, if x<1):}$
Quindi la funzione $f(x)$ diventa:
$f(x)= {((x-1)log(x-1)-x, if x>1), ((1-x)log(1-x)-x, if x<1), (-1, if x=1):}$
Fin qui ci sei?
a ecco...quindi praticamente i due grafici "superflui" si eliminano e dunque la divido in due sottofunzioni...ma tutti i quesiti che ho chiesto prima??
ce...perchè mi escono tanti valori per f'(3)....dove vado a sostituire?? e come?
io intanto , cerco di risolvere questo...
Prova a fare il calcolo della derivata prima, non dovrebbe essere difficile ora che hai la funzione scritta per bene 
. Almeno provaci 
. Almeno provaci
vediamo fin qui...
f'(x) = ${(log(x-1)+1, if x>1), (-log(1-x)-1, if x<1), (0, if x=1):}
f(3) = $|3-1|log|3-1|-3=|2|log|2|-3=2log2-3$
mentre l'equazione della retta tangente nel punto (3; f(3)) è data da: $y-f(3)= f'(3)(x-3)$
tuttavia devo ancora calcolarmi la f'(3)...come si fa?? devo calcolarla per ognuna delle 3 derivate parziali selle sottofunzioni trovate o devo trovare la derivata unica della funzione totale e sostituire il 3 in essa??
se sostituisco il 3 nelle 3 sotto-derivate parziali è sbagliato (e quindi ottengo 3 risultati differenti per f'(3) e quindi di conseguenza anche per la retta tangente al grafico)??
f'(x) = ${(log(x-1)+1, if x>1), (-log(1-x)-1, if x<1), (0, if x=1):}
f(3) = $|3-1|log|3-1|-3=|2|log|2|-3=2log2-3$
mentre l'equazione della retta tangente nel punto (3; f(3)) è data da: $y-f(3)= f'(3)(x-3)$
tuttavia devo ancora calcolarmi la f'(3)...come si fa?? devo calcolarla per ognuna delle 3 derivate parziali selle sottofunzioni trovate o devo trovare la derivata unica della funzione totale e sostituire il 3 in essa??
se sostituisco il 3 nelle 3 sotto-derivate parziali è sbagliato (e quindi ottengo 3 risultati differenti per f'(3) e quindi di conseguenza anche per la retta tangente al grafico)??
Mi sa che hai commesso qualche errore di calcolo, a me risulta:
f'(x) = ${(log(x-1), if x>1), (-log(1-x)-2, if x<1):}
Per $x=1$ la derivata prima non è definita, lo puoi vedere calcolando il limite destro e sinistro della derivata. Infatti
$lim_{x->1^+} f'(x)=-\infty$ mentre $lim_{x->1^-} f'(x)= +\infty$
Per il calcolo di $f'(3)$ è pressochè immediato, infatti osserva che $3\in (1, +\infty)$ quindi dobbiamo prendere in considerazione $log(x-1)$.
Dunque $f'(3)= log(3-1)= log(2)$
$f(3)= 2log(2)-3$ è esatto
f'(x) = ${(log(x-1), if x>1), (-log(1-x)-2, if x<1):}
Per $x=1$ la derivata prima non è definita, lo puoi vedere calcolando il limite destro e sinistro della derivata. Infatti
$lim_{x->1^+} f'(x)=-\infty$ mentre $lim_{x->1^-} f'(x)= +\infty$
Per il calcolo di $f'(3)$ è pressochè immediato, infatti osserva che $3\in (1, +\infty)$ quindi dobbiamo prendere in considerazione $log(x-1)$.
Dunque $f'(3)= log(3-1)= log(2)$
$f(3)= 2log(2)-3$ è esatto
"Mathematico":
Mi sa che hai commesso qualche errore di calcolo, a me risulta:
f'(x) = ${(log(x-1), if x>1), (-log(1-x)-2, if x<1):}
si ...hai ragione...nel calcolo delle derivate ho omesso di derivare il "$-x$" che è -1, che nel primo caso mi annulla l'1 e nel secondo si va a sommare all'altro -1
per il fatto del f'(3) e dell'intervallo ho capito...siccome la derivata è per x>1 e 3 è >1 allora si va a sostituire solo in quella derivata e non in quella di sotto....
GRAZIE!! semplice e chiaro!
e per quanto riguarda limiti e grafico??
ci lavoro un po su intanto cosi man mano che mi dici le cose io cerco di seguirti con i miei procedimenti per vedere se faccio bene.....anche perchè voglio (e devo) capire...non mi serve a nulla copiare solamente...
Sinceramente non so disegnare il grafico della funzione con il programma che c'è sul forum, per quanto riguarda i limiti, intendi quello destro e sinistro della derivata prima?
[size=75]Scusa il ritardo nella risposta, ma non sempre sono al pc [/size]
[size=75]Scusa il ritardo nella risposta, ma non sempre sono al pc [/size]
"Mathematico":
Sinceramente non so disegnare il grafico della funzione con il programma che c'è sul forum, per quanto riguarda i limiti, intendi quello destro e sinistro della derivata prima?
[size=75]Scusa il ritardo nella risposta, ma non sempre sono al pc [/size]
si ...i limiti destro e sinistro...
no figurati...anzi grazie!!!
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