Studio di funzione
buongiorno a tutti, un problema con lo studio della seguente funzione (vi riporto il testo dell'esercizio):
a) DOMINIO: $x in(-oo, -1]uu[1,2-)uu(2+,+oo)$
LIMITI:
$lim_(xto-oo)sqrt(x^2-1)/(x-2) ->sqrt(x^2(1-1/x))/(x(1-1/x))->(xsqrt(1-1/x))/(x(1-1/x)) = 1$
idem per $xto+oo$ --> giusto?
$lim_(xto-1)sqrt(x^2-1)/(x-2) = 0/(-3) = 0$
$lim_(xto1)sqrt(x^2-1)/(x-2) = 0/(-1) = 0$
giusti?
problemone: questi come si risolvono?
$lim_(xto2+)sqrt(x^2-1)/(x-2) $ e $lim_(xto2-)sqrt(x^2-1)/(x-2) $
b) mi rendo conto di aver già postato un dubbio analogo, ma continuo a necessitare di conferme.. per dire dove f è continua e dove è derivabile, qui che condizioni devo porre? grazie
c) calcolo positività della derivata
d) come determino l'immagine di f? e cosa significa "dire quante soluzioni hanno le seguenti equazioni"?
vi ringrazio tutti anticipatamente, vi sarò davvero grata se mi darete una mano (non so se si è intuito, ma lunedì questo ho l'esame di Calcolo Differenziale ed Integrale.. )
a) DOMINIO: $x in(-oo, -1]uu[1,2-)uu(2+,+oo)$
LIMITI:
$lim_(xto-oo)sqrt(x^2-1)/(x-2) ->sqrt(x^2(1-1/x))/(x(1-1/x))->(xsqrt(1-1/x))/(x(1-1/x)) = 1$
idem per $xto+oo$ --> giusto?
$lim_(xto-1)sqrt(x^2-1)/(x-2) = 0/(-3) = 0$
$lim_(xto1)sqrt(x^2-1)/(x-2) = 0/(-1) = 0$
giusti?
problemone: questi come si risolvono?
$lim_(xto2+)sqrt(x^2-1)/(x-2) $ e $lim_(xto2-)sqrt(x^2-1)/(x-2) $
b) mi rendo conto di aver già postato un dubbio analogo, ma continuo a necessitare di conferme.. per dire dove f è continua e dove è derivabile, qui che condizioni devo porre? grazie
c) calcolo positività della derivata
d) come determino l'immagine di f? e cosa significa "dire quante soluzioni hanno le seguenti equazioni"?
vi ringrazio tutti anticipatamente, vi sarò davvero grata se mi darete una mano (non so se si è intuito, ma lunedì questo ho l'esame di Calcolo Differenziale ed Integrale.. )
Risposte
Il limite per $x \rightarrow -\infty$ non fa 1 ma -1: in generale $\sqrt(x)=|x|$, quindi per $x$ negative si ha $|x|=-x$.
Se ci pensi il numeratore della funzione è sempre positivo, per $x<2$ il denominatore è negativo, quindi per $x \rightarrow -\infty$ la funzione non poteva tendere ad un valore negativo.
I limiti per $x \rightarrow -1^-$ e per $x \rightarrow 1^+$ mi sembrano che vadano bene, per $x \rightarrow 2$ il numeratore tende a $sqrt(3)$, e non dà problemi, per $x \rightarrow 2^+$ il denominatore tende a $0^+$, e la funzione tende a $+\infty$, per $x \rightarrow 2^-$ il denominatore tende a $0^-$ e la funzione tende a $-\infty$.
La funzione è ottenuta per composizioni di polinomi, quindi dove è definita è continua.
La derivata di 'sta funzione vale: $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{2x*\frac{1}{2sqrt(x^2-1)}-sqrt(x^2-1)}{(x-2)^2}=\frac{x-x^2+1}{sqrt(x^2-1)*(x-2)^2}$
La funzione quindi è derivabile in $x \in (-\infty,-1) \cup (1,2) \cup (2, +\infty)$
L'immagine di $f$ si vede bene dal grafico, ed è, detto informalmente, l'insieme dei valori assunti dalla funzione.
Se ci pensi il numeratore della funzione è sempre positivo, per $x<2$ il denominatore è negativo, quindi per $x \rightarrow -\infty$ la funzione non poteva tendere ad un valore negativo.
I limiti per $x \rightarrow -1^-$ e per $x \rightarrow 1^+$ mi sembrano che vadano bene, per $x \rightarrow 2$ il numeratore tende a $sqrt(3)$, e non dà problemi, per $x \rightarrow 2^+$ il denominatore tende a $0^+$, e la funzione tende a $+\infty$, per $x \rightarrow 2^-$ il denominatore tende a $0^-$ e la funzione tende a $-\infty$.
La funzione è ottenuta per composizioni di polinomi, quindi dove è definita è continua.
La derivata di 'sta funzione vale: $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{2x*\frac{1}{2sqrt(x^2-1)}-sqrt(x^2-1)}{(x-2)^2}=\frac{x-x^2+1}{sqrt(x^2-1)*(x-2)^2}$
La funzione quindi è derivabile in $x \in (-\infty,-1) \cup (1,2) \cup (2, +\infty)$
L'immagine di $f$ si vede bene dal grafico, ed è, detto informalmente, l'insieme dei valori assunti dalla funzione.
Per x->-oo il limite non fa 1 bensì -1.
Infatti sqrt(x^2-1)=sqrt(x^2*(1-x(^-2))=sqrt(x^2)*sqrt(1-x(^-2)) ed sqrt(x^2)=abs(x) cioè valore assoluto di x.
Per x->-oo abs(x)->-x ed il limite fa -1; se x->+oo abs(x)->+x ed il limite fa 1
Ci sono quindi due asintoti orizzontali y=-1 asintoto orizzontale sinistro ed y=1 asintoto orizzontale destro.
Inoltre per x->2+ hai sqrt(3)/0+=+oo; per x->2- hai sqrt(3)/0-=-oo
Per quanto riguarda la derivata essa è pari a (1-2x)/((x-2)^2*sqrt(x^2-1)) ed è sempre positiva nell'intervallo (-oo,-1)
e sempre negativa in (1,+oo)-
Dire f(x)=2 oppure f(x)=+1/2 oppure f(x)=-1/2 significa che dal grafico devi fare l'intersezione tra il grafico di f con le rette y=2, oppure y=1/2 oppure y=-1/2
Infatti sqrt(x^2-1)=sqrt(x^2*(1-x(^-2))=sqrt(x^2)*sqrt(1-x(^-2)) ed sqrt(x^2)=abs(x) cioè valore assoluto di x.
Per x->-oo abs(x)->-x ed il limite fa -1; se x->+oo abs(x)->+x ed il limite fa 1
Ci sono quindi due asintoti orizzontali y=-1 asintoto orizzontale sinistro ed y=1 asintoto orizzontale destro.
Inoltre per x->2+ hai sqrt(3)/0+=+oo; per x->2- hai sqrt(3)/0-=-oo
Per quanto riguarda la derivata essa è pari a (1-2x)/((x-2)^2*sqrt(x^2-1)) ed è sempre positiva nell'intervallo (-oo,-1)
e sempre negativa in (1,+oo)-
Dire f(x)=2 oppure f(x)=+1/2 oppure f(x)=-1/2 significa che dal grafico devi fare l'intersezione tra il grafico di f con le rette y=2, oppure y=1/2 oppure y=-1/2
Per rispondere agli altri punti devi calcolare la derivata che risulta essere :
$ f'(x) = (1-2x)/((x-2)^2*sqrt(x^2-1)) $
Naturalmente la funzione non è derivabile in $x=2 $ dove non è neppure continua e non è neanche derivabile in $ x= 1, x=-1$ ove la derivata tende a $-,+oo.
c) segno di f'(x) : il denominatore è sempre $>=0$ in quanto un fattore è un quadrato e l'altro è una radice, sempre positiva dove è definita.
Basta allora studiare il segno del numeratore : $1-2x > 0 $ per $x < 1/2$ che nel caso nostro vuol dire $ x< -1 $ ; ovviamente $1-2x < 0 $ per $ x > 1/2$ che nel nostro caso significa : $ x >1 $ ,
Quindi funzione crescente per $ x<-1 $ e decrescente per $ x > 1$.
d) a questo puntro devi tracciare il grafico e vedrai che Im f = $(-oo,,0] U (1, +oo) $ .
Equazione : $ f(x) = 2 $ ; trovare quante soluzioni ha questa equazione vuol dire quante intersezioni hanno le curve $y=f(x) $ e $ y = 2 $ ; dal grafico deduci che si ha una soluzione .
Per l'equazione $ f(x ) = 1/2$ invece non si hanno soluzioni mentre l'equazione $ f(x ) =-1/2$ ha 2 soluzioni.
OK ?
P.S. Dimenticavo i due asintoti orizzontali : $y = 1 $ per $x rarr +oo$ e $ y =-1 $ per $ x rarr -oo$.
$ f'(x) = (1-2x)/((x-2)^2*sqrt(x^2-1)) $
Naturalmente la funzione non è derivabile in $x=2 $ dove non è neppure continua e non è neanche derivabile in $ x= 1, x=-1$ ove la derivata tende a $-,+oo.
c) segno di f'(x) : il denominatore è sempre $>=0$ in quanto un fattore è un quadrato e l'altro è una radice, sempre positiva dove è definita.
Basta allora studiare il segno del numeratore : $1-2x > 0 $ per $x < 1/2$ che nel caso nostro vuol dire $ x< -1 $ ; ovviamente $1-2x < 0 $ per $ x > 1/2$ che nel nostro caso significa : $ x >1 $ ,
Quindi funzione crescente per $ x<-1 $ e decrescente per $ x > 1$.
d) a questo puntro devi tracciare il grafico e vedrai che Im f = $(-oo,,0] U (1, +oo) $ .
Equazione : $ f(x) = 2 $ ; trovare quante soluzioni ha questa equazione vuol dire quante intersezioni hanno le curve $y=f(x) $ e $ y = 2 $ ; dal grafico deduci che si ha una soluzione .
Per l'equazione $ f(x ) = 1/2$ invece non si hanno soluzioni mentre l'equazione $ f(x ) =-1/2$ ha 2 soluzioni.
OK ?
P.S. Dimenticavo i due asintoti orizzontali : $y = 1 $ per $x rarr +oo$ e $ y =-1 $ per $ x rarr -oo$.
vi ringrazio enormemente!!! mi avete levato un sacco di dubbi! vi cheido un solo favore: potete esplicitare il calcolo dei due limiti che non sono riuscita a calcolare, ossia questi due?
$lim_(xto2+)sqrt(x^2-1)/(x-2) $ e $lim_(xto2-)sqrt(x^2-1)/(x-2) $
cosa si fa qui, si sostituisce? grazie ancora
$lim_(xto2+)sqrt(x^2-1)/(x-2) $ e $lim_(xto2-)sqrt(x^2-1)/(x-2) $
cosa si fa qui, si sostituisce? grazie ancora
Si sostituisce:
se x->2+ allora (x-2)=0+, mentre sqrt(x^2-1)=3 ed il limite è 3/0+=+oo
per x->2- allora (x-2)=0- mentre sqrt(x^2-1)=3 ed il limite è 3/0-=-oo
se x->2+ allora (x-2)=0+, mentre sqrt(x^2-1)=3 ed il limite è 3/0+=+oo
per x->2- allora (x-2)=0- mentre sqrt(x^2-1)=3 ed il limite è 3/0-=-oo
grazie mille! 
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