Studio di funzione 2 variabili
Salve a tutti.
Ho questo esercizio da risolvere (tratto da un testo d'esame) ma non so come impostarlo. Non voglio i calcoli ma se possibile solo delle linee guida. L'esercizio è cosi definito:
Studiare la funzione $z=f(x,y)$ implicitamente definita dall'equazione $F(x,y,z)= xsinx+ln(1+y^2)-z-int_{0}^{z}e^(t^2)dt=0$, riportandone inoltre lo sviluppo in serie di McLaurin al secondo ordine con resto di Peano.
Potete aiutarmi??
Grazie
Ho questo esercizio da risolvere (tratto da un testo d'esame) ma non so come impostarlo. Non voglio i calcoli ma se possibile solo delle linee guida. L'esercizio è cosi definito:
Studiare la funzione $z=f(x,y)$ implicitamente definita dall'equazione $F(x,y,z)= xsinx+ln(1+y^2)-z-int_{0}^{z}e^(t^2)dt=0$, riportandone inoltre lo sviluppo in serie di McLaurin al secondo ordine con resto di Peano.
Potete aiutarmi??
Grazie
Risposte
Per quanto riguarda lo sviluppo in serie di McLaurin al secondo ordine:
Vero è che, essendo la funzione definita implicitamente, almeno per quanto riguarda le derivate parziali prime:
In questo caso, poiché:
si ha:
Lascio a te determinare le derivate parziali seconde.
Sarebbe meglio precisare.
$z(x,y)=z(0,0)+z_x(0,0)*x+z_y(0,0)*y+1/2*z_(x x)(0,0)*x^2+z_(x y)(0,0)*xy+1/2*z_(y y)(0,0)*y^2$
Vero è che, essendo la funzione definita implicitamente, almeno per quanto riguarda le derivate parziali prime:
$F(x,y,z(x,y))=0 rarr$
$rarr [F_x+F_z*z_x=0] ^^ [F_y+F_z*z_y=0] rarr$
$rarr [z_x=-F_x/F_z] ^^ [z_y=-F_y/F_z]$
In questo caso, poiché:
$z(0,0)=0$
si ha:
$[z_x(0,0)=-(F_x(0,0,0))/(F_z(0,0,0))] ^^ [z_y(0,0)=-(F_y(0,0,0))/(F_z(0,0,0))]$
Lascio a te determinare le derivate parziali seconde.
"Dr.Hermann":
Studiare la funzione ...
Sarebbe meglio precisare.
Ciao Sergeant Elias, grazie per avermi risposto.
Non capisco però quale sia la mia $z=f(x,y)$
Per quanto riguarda lo studio della funzione il professore intende che dobbiamo verificare se esistono massimi o minimi relativi/assoluti, continuità,derivabilità e differenziabilità.
Non capisco però quale sia la mia $z=f(x,y)$
Per quanto riguarda lo studio della funzione il professore intende che dobbiamo verificare se esistono massimi o minimi relativi/assoluti, continuità,derivabilità e differenziabilità.
"Dr.Hermann":
Non capisco però quale sia la mia $z=f(x,y)$ ...
La tua $z=f(x,y)$, per ogni $(x,y)$, è la soluzione dell'equazione:
$xsinx+ln(1+y^2)-z-int_{0}^{z}e^(t^2)dt=0$
di difficile, se non impossibile esplicitazione. Vero è che, tipicamente, per svolgere un esercizio come questo è sufficiente ridursi alle proprietà della funzione:
$F(x,y,z)=xsinx+ln(1+y^2)-z-int_{0}^{z}e^(t^2)dt$
Per esempio, almeno per quanto riguarda lo sviluppo, non resta che esprimere le derivate parziali seconde. Se non riesci, provo a concludere io.
Allora io ho provato a svolgere qualche calcolo, ma non so se lo sto facendo correttamente.
Ho la mia $ F(x,y,z)= xsinx+ln(1+y^2)-z-int_{0}^{z}e^(t^2)dt=0 $
a questo punto verifico le ipotesi del Dini, vale a dire:
1-$F(x_0,y_0,z_0)=0$ ed è rispettata. Con $(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)$.
2-La $F'_z(0,0,0)=-2\ne 0$
Quindi la mia funzione definisce implicitamente una $z=f(x,y)$.
Ora calcolo:
$F'(x,y,f(x,y))=0 \Rightarrow sinx+xcosx+ (2y)/(1+y^2)-z'(x)-e^(z'(x)^2)=0$
$F''(x,y,f(x,y))=0 \Rightarrow cosx+cosx-xsinx+(2-2y^2)/(1+y^2)^2-z''(x)-e^(z'(x)^2)(2z'(x))=0$
Però non so come continuare..
Ho la mia $ F(x,y,z)= xsinx+ln(1+y^2)-z-int_{0}^{z}e^(t^2)dt=0 $
a questo punto verifico le ipotesi del Dini, vale a dire:
1-$F(x_0,y_0,z_0)=0$ ed è rispettata. Con $(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)$.
2-La $F'_z(0,0,0)=-2\ne 0$
Quindi la mia funzione definisce implicitamente una $z=f(x,y)$.
Ora calcolo:
$F'(x,y,f(x,y))=0 \Rightarrow sinx+xcosx+ (2y)/(1+y^2)-z'(x)-e^(z'(x)^2)=0$
$F''(x,y,f(x,y))=0 \Rightarrow cosx+cosx-xsinx+(2-2y^2)/(1+y^2)^2-z''(x)-e^(z'(x)^2)(2z'(x))=0$
Però non so come continuare..
Come scritto precedentemente, poiché:
per ricavare le derivate parziali prime:
A questo punto, per ricavare le derivate parziali seconde, è necessario iterare:
Lascio a te, come esercizio, ricavare le altre. Ovviamente, le derivate parziali prime e seconde di $F$ devono essere valutate in $(0,0,0)$. Spero sia chiaro.
P.S.
Prima di svolgere i calcoli espliciti, preferisco ricavare le formule.
$F(x,y,z(x,y))=0$
per ricavare le derivate parziali prime:
Derivata parziale prima $z_x$
$F_x+F_z*z_x=0 rarr$
$rarr z_x=-F_x/F_z$
Derivata parziale prima $z_y$
$F_y+F_z*z_y=0 rarr$
$rarr z_y=-F_y/F_z$
A questo punto, per ricavare le derivate parziali seconde, è necessario iterare:
Derivata parziale seconda $z_(x x)$
$F_x+F_z*z_x=0 rarr$
$rarr F_(x x)+F_(x z)*z_x+(F_(z x)+F_(z z)*z_x)*z_x+F_z*z_(x x)=0 rarr$
$rarr z_(x x)=-(F_(x x)+F_(x z)*z_x+(F_(z x)+F_(z z)*z_x)*z_x)/F_z$
Lascio a te, come esercizio, ricavare le altre. Ovviamente, le derivate parziali prime e seconde di $F$ devono essere valutate in $(0,0,0)$. Spero sia chiaro.
P.S.
Prima di svolgere i calcoli espliciti, preferisco ricavare le formule.
Scusa se rispondo ora, ma lavorando non ho molto tempo libero. Comunque fino a qui ci sono, solo non riesco ad impostare le derivate seconde miste, mi crea confusione il calcolo.
Dopo di che so come continuare. Devo fare: $\grad(f)=0$ e otterrò come punto critico $(0,0,0)$.
Poi con l'hessiano saprò se ho un punto di massimo o minimo.
Dopo di che so come continuare. Devo fare: $\grad(f)=0$ e otterrò come punto critico $(0,0,0)$.
Poi con l'hessiano saprò se ho un punto di massimo o minimo.
OK, qui non vorrei creare confusione visto che S.Elias ha già dato varie risposte molto esaurienti. Però, vorrei sottolineare che questo esercizio si può approcciare con un cambio di variabile:
\[
w(z)=z+\int_0^z e^{t^2}\, dt.\]
La funzione \(w=w(z)\) è strettamente crescente, quindi \(z\) è massimo [minimo] quando \(w\) è massimo [minimo]. Ma \(w\) è molto più semplice da studiare, perché \(w\) è funzione di \(x, y\) in modo esplicito, si tratta di fare uno studio di funzione ordinario.
\[
w(z)=z+\int_0^z e^{t^2}\, dt.\]
La funzione \(w=w(z)\) è strettamente crescente, quindi \(z\) è massimo [minimo] quando \(w\) è massimo [minimo]. Ma \(w\) è molto più semplice da studiare, perché \(w\) è funzione di \(x, y\) in modo esplicito, si tratta di fare uno studio di funzione ordinario.
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