Studio di funzione
Buonasera, sto studiando per l'esame di analisi 1 e sto riscontrando qualche difficoltà nello studio di funzione in presenza di logaritmi e moduli.
Chiederei se possibile lo svolgimento dello studio della funzione seguente:
$ f(x) = log(x^2 + x + 1) - |x| $
Lo studio comprende: dominio, zeri, segno, limiti/asintoti, derivata
Vi ringrazio in anticipo, spero di poter capire come gestire questo tipo di funzioni
Chiederei se possibile lo svolgimento dello studio della funzione seguente:
$ f(x) = log(x^2 + x + 1) - |x| $
Lo studio comprende: dominio, zeri, segno, limiti/asintoti, derivata
Vi ringrazio in anticipo, spero di poter capire come gestire questo tipo di funzioni
Risposte
[xdom="Mephlip"]Ciao Ale1500, benvenut* sul forum!
Ti chiedo cortesemente di leggere il regolamento, che trovi qui. Chiediamo un tentativo di svolgimento per la risoluzione dei problemi: lo spirito del forum è quello di aiutare a crescere, non di svolgere i compiti degli altri (che fa sviluppare molto meno le capacità dell'interlocutore). Sempre da regolamento, è vietato portare immagini: infatti, dopo un po' di tempo esse vengono rimosse dai servizi di hosting e ciò rende illegibile il post. Puoi trovare qui un tutorial per le formule: usando il pulsante "Modifica" presente in alto a destra sul tuo messaggio, puoi modificarlo e sostituire le foto con le formule. Non temere di sbagliare, puoi modificare il messaggio quante volte vuoi e puoi usare il pulsante "Anteprima" presente in basso al centro della pagina. Grazie, e buona permanenza![/xdom]
Ti chiedo cortesemente di leggere il regolamento, che trovi qui. Chiediamo un tentativo di svolgimento per la risoluzione dei problemi: lo spirito del forum è quello di aiutare a crescere, non di svolgere i compiti degli altri (che fa sviluppare molto meno le capacità dell'interlocutore). Sempre da regolamento, è vietato portare immagini: infatti, dopo un po' di tempo esse vengono rimosse dai servizi di hosting e ciò rende illegibile il post. Puoi trovare qui un tutorial per le formule: usando il pulsante "Modifica" presente in alto a destra sul tuo messaggio, puoi modificarlo e sostituire le foto con le formule. Non temere di sbagliare, puoi modificare il messaggio quante volte vuoi e puoi usare il pulsante "Anteprima" presente in basso al centro della pagina. Grazie, e buona permanenza![/xdom]
Ciao Ale1500,
Considerato che è il tuo primo messaggio sul forum, per questa volta ti aiuto io a modificare l'OP eliminando la foto e scrivendo al posto di essa la formula corretta. Questo naturalmente non ti esime dal leggere la guida su come scrivere le formule come ti ha scritto Mephlip per i tuoi prossimi quesiti...
$ f(x) = log(x^2 + x + 1) - |x| $
Giusto un paio di osservazioni per indirizzarti. Innanzitutto si nota che il dominio naturale della funzione proposta è $D = \RR $ e che nell'argomento del logaritmo (che si suppone sia quello naturale, cioè $log = log_e = ln $) non compare il modulo perché è sempre positivo $\forall x \in \RR $, infatti si può scrivere $x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + (\sqrt3/2)^2 $
Il modulo presente nella funzione suggerisce la presenza di un punto angoloso in $x = 0$ e si vede subito che $f(0) = 0 $ (ma non è l'unico punto di intersezione della funzione con l'asse $x$). Per lo studio del segno della funzione e della derivata prima ti consiglierei di considerare separatamente i casi $x > 0 $ e $x < 0 $ in modo da poter eliminare il modulo tenendo conto della sua definizione.
Considerato che è il tuo primo messaggio sul forum, per questa volta ti aiuto io a modificare l'OP eliminando la foto e scrivendo al posto di essa la formula corretta. Questo naturalmente non ti esime dal leggere la guida su come scrivere le formule come ti ha scritto Mephlip per i tuoi prossimi quesiti...
$ f(x) = log(x^2 + x + 1) - |x| $
$ f(x) = log(x^2 + x + 1) - |x| $
Giusto un paio di osservazioni per indirizzarti. Innanzitutto si nota che il dominio naturale della funzione proposta è $D = \RR $ e che nell'argomento del logaritmo (che si suppone sia quello naturale, cioè $log = log_e = ln $) non compare il modulo perché è sempre positivo $\forall x \in \RR $, infatti si può scrivere $x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + (\sqrt3/2)^2 $
Il modulo presente nella funzione suggerisce la presenza di un punto angoloso in $x = 0$ e si vede subito che $f(0) = 0 $ (ma non è l'unico punto di intersezione della funzione con l'asse $x$). Per lo studio del segno della funzione e della derivata prima ti consiglierei di considerare separatamente i casi $x > 0 $ e $x < 0 $ in modo da poter eliminare il modulo tenendo conto della sua definizione.
Ti ringrazio molto per l'aiuto nonostante non avessi scritto il tutto nel modo coretto ... sicuramente ora mi informo meglio sul regolamento e provo anche a svolgere l'esercizio con i consigli che mi hai dato.
Se avrò problemi, vi ricontatterò, magari mandando anche una prova di svolgimento, grazie ancora
Se avrò problemi, vi ricontatterò, magari mandando anche una prova di svolgimento, grazie ancora
"Ale1500":
Ti ringrazio molto per l'aiuto nonostante non avessi scritto il tutto nel modo corretto ...
Prego, però il post iniziale ancora non l'hai modificato e la foto c'è ancora: dai su, un piccolo sforzo...
Pssst... io farei così all'inizio. Notando la presenza di un valore assoluto ( $ | x | $ ) all'interno di $ f(x) $, scriverei quest'ultima come una funzione definita a tratti:
\[
f(x) :=
\begin{cases}
\log \left( x^2 + x + 1 \right) - x & \text{per } x \geq 0 \\
\log \left( x^2 + x + 1 \right) + x & \text{per } x < 0
\end{cases}
\]
che tornerà utile per studi successivi.
Poi cercherei l'insieme di definizione di $ f $. Ora, l'unico problema che potrebbe esserci all'interno di $ f $ è $ \log \left( x^2 + x + 1 \right) $. Dobbiamo vedere se qui vengono rispettate le condizioni di esistenza del logaritmo. Ponendo:
\[
x^2 + x + 1> 0
\]
che, come indicato da @pilloeffe, è sempre vera $ \forall x \in \mathbb{R} $. Dunque, il dominio naturale $ \mathcal{D} $[nota]Non riesco a capire perché \mathcal{D} viene mostrato a schermo diversamente... Fa finta che sia uguale alla D che ho scritto sotto[/nota] di $ f $ risulta essere:
\[
\mathcal{D} \equiv \mathbb{R}.
\]
Ora, cosa puoi dire sulla continuità di $ f $?
\[
f(x) :=
\begin{cases}
\log \left( x^2 + x + 1 \right) - x & \text{per } x \geq 0 \\
\log \left( x^2 + x + 1 \right) + x & \text{per } x < 0
\end{cases}
\]
che tornerà utile per studi successivi.
Poi cercherei l'insieme di definizione di $ f $. Ora, l'unico problema che potrebbe esserci all'interno di $ f $ è $ \log \left( x^2 + x + 1 \right) $. Dobbiamo vedere se qui vengono rispettate le condizioni di esistenza del logaritmo. Ponendo:
\[
x^2 + x + 1> 0
\]
che, come indicato da @pilloeffe, è sempre vera $ \forall x \in \mathbb{R} $. Dunque, il dominio naturale $ \mathcal{D} $[nota]Non riesco a capire perché \mathcal{D} viene mostrato a schermo diversamente... Fa finta che sia uguale alla D che ho scritto sotto[/nota] di $ f $ risulta essere:
\[
\mathcal{D} \equiv \mathbb{R}.
\]
Ora, cosa puoi dire sulla continuità di $ f $?
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