Studio di funzione
Sto studiando la seguente funzione:
\[
f(x) = \begin{cases}
0 & \text{se } x = 0 \\
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right) & \text{se } x \neq 0
\end{cases}
\]
Scrivendone la legge come una funzione a tratti, ottengo:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) > 0 \\
0 & \text{se } x = 0 \vee x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) < 0\\
\end{cases}
\]
ossia:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } \frac{1}{\pi \left( 2n + 1 \right)} < x < \frac{1}{2 \pi n }, \quad \text{con } n \in \mathbb{R} \\
0 & \text{altrimenti.}
\end{cases}
\]
Ora, già la presenza di
\[
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right)
\]
(che tradotto significa: "se $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) < 0 $, allora sputa fuori $ 0 $) ci assicura che la funzione sarà sempre positiva. Nel caso specifico $ x = 0 $, $ f $ sarà uguale a zero, confermando la tesi.
Fino a qui va bene? poi procederò col stabilire se e dove è continua.
\[
f(x) = \begin{cases}
0 & \text{se } x = 0 \\
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right) & \text{se } x \neq 0
\end{cases}
\]
Scrivendone la legge come una funzione a tratti, ottengo:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) > 0 \\
0 & \text{se } x = 0 \vee x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) < 0\\
\end{cases}
\]
ossia:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } \frac{1}{\pi \left( 2n + 1 \right)} < x < \frac{1}{2 \pi n }, \quad \text{con } n \in \mathbb{R} \\
0 & \text{altrimenti.}
\end{cases}
\]
Ora, già la presenza di
\[
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right)
\]
(che tradotto significa: "se $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) < 0 $, allora sputa fuori $ 0 $) ci assicura che la funzione sarà sempre positiva. Nel caso specifico $ x = 0 $, $ f $ sarà uguale a zero, confermando la tesi.
Fino a qui va bene? poi procederò col stabilire se e dove è continua.
Risposte
Se $f(0)=0$, non vedo come $f$ possa essere sempre positiva... Che vuol dire "positivo"?
Whoops, intendevo dire che $ f $ non è mai negativa: è sempre o positiva o nulla.
Però il resto va bene?
Però il resto va bene?
"gugo82":
Se $f(0)=0$, non vedo come $f$ possa essere sempre positiva... Che vuol dire "positivo"?
Magari ncant è francese.
"ghira":
[quote="gugo82"]Se $f(0)=0$, non vedo come $f$ possa essere sempre positiva... Che vuol dire "positivo"?
Magari ncant è francese.[/quote]
Ma allora non pubblicherebbe mai una foto di una moka al posto di una baguette portata sotto l'ascella...
"ncant":
Whoops, intendevo dire che $ f $ non è mai negativa: è sempre o positiva o nulla.
Però il resto va bene?
Sì.
Potresti cavartela più a buon mercato, dicendo che $f$ è la parte positiva del prolungamento continuo di $x^2 sin(1/x)$ a tutto $RR$, quindi è continua.
Che poi sia non negativa viene gratis dalla definizione di parte positiva.
"gugo82":
[quote="ghira"][quote="gugo82"]Se $f(0)=0$, non vedo come $f$ possa essere sempre positiva... Che vuol dire "positivo"?
Magari ncant è francese.[/quote]
Ma allora non pubblicherebbe mai una foto di una moka al posto di una baguette portata sotto l'ascella...
[/quote]Oh, che bello! Hai visto l'altro mio messaggio. Se faccio ancora in tempo, potrei aggiungerti tra i ringraziamenti!
Comunque no, non sono francese. Sono romano (anche se iscritto all'Università di Pisa e attualmente risiedo proprio lì). Al posto della baguette c'è la cecina, i salumi toscani e il lampredotto (che a me non piace).
Mi sono sbellicato dalle risate quando ho letto il messaggio di @ghira. Oh beh, fossi stato francese, sarebbe stato "corretto"? Il mio Prof. di analisi ha fatto studiato in Francia (penso anche in ambito Erasmus all'epoca), forse dovrei chiederglielo...
OK, on continue avec cette folie jusqu'à ce que je trouve un moyen de régler toute cette affaire.
Realizzo che la legge che ho scritto implica che la funzione oscillerà sempre di più per $ x \to 0^\pm $, ma allora come potremmo disegnarne il grafico qualitativamente (su carta!) se la funzione oscilla sempre di più attorno a $ x = 0 $? Il grafico diventerà sempre più difficile da disegnare all'avvicinarsi sia a destra che a sinistra di $ x = 0 $.
Secondo: ok, posso dimostrare la continuità della funzione in $ x = 0 $, ma anche se si tratta della parte positiva del prolungamento continuo di $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) $(che poi sarebbe effettivamente necessario verificare se il prolungamento rende la funzione continua in quel punto, o meglio: come si comportano i limiti destro e sinistro di $ f (x) $ per $ x \to 0 $?), dovrei anche dimostrare se essa, appunto, è continua nei punti dell'intervallo in cui $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) > 0 $.
Error: not enough memory to process this information.
- (letteralmente il mio cervello)
Sono molto confuso.
"ncant":
[Oh beh, fossi stato francese, sarebbe stato "corretto"?
In Francia, 0 è negativo e positivo.
"ncant":
[quote="gugo82"]
Ma allora non pubblicherebbe mai una foto di una moka al posto di una baguette portata sotto l'ascella...
Oh, che bello! Hai visto l'altro mio messaggio. Se faccio ancora in tempo, potrei aggiungerti tra i ringraziamenti![/quote]
Certo.
"ncant":
Comunque no, non sono francese. Sono romano (anche se iscritto all'Università di Pisa e attualmente risiedo proprio lì).
Ero abbastanza certo non lo fossi, per il motivo detto su.
"ncant":
Realizzo che la legge che ho scritto implica che la funzione oscillerà sempre di più per $ x \to 0^\pm $, ma allora come potremmo disegnarne il grafico qualitativamente (su carta!) se la funzione oscilla sempre di più attorno a $ x = 0 $? Il grafico diventerà sempre più difficile da disegnare all'avvicinarsi sia a destra che a sinistra di $ x = 0 $.
Secondo te tutto si può rappresentare su carta?
E la funzione di Dirichlet dove la metti?
Ma anche senza andare così a fondo, chi ti assicura sia possibile rappresentare esattamente $sqrt(2)$?
"ncant":
Secondo: ok, posso dimostrare la continuità della funzione in $ x = 0 $, ma anche se si tratta della parte positiva del prolungamento continuo di $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) $(che poi sarebbe effettivamente necessario verificare se il prolungamento rende la funzione continua in quel punto, o meglio: come si comportano i limiti destro e sinistro di $ f (x) $ per $ x \to 0 $?), dovrei anche dimostrare se essa, appunto, è continua nei punti dell'intervallo in cui $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) > 0 $.
Questo è un buon esercizio di Analisi I: dimostra che, se $f,g:X -> RR$ sono continue in $X$, allora anche le due funzioni $min \{f,g\}$ e $max \{f,g\}$ sono continue in $X$.
"gugo82":
E la funzione di Dirichlet dove la metti?
Non puoi. Però il testo dell'esercizio richiede di disegnare approssimativamente il grafico della funzione. Quanto bello lo può volere il Prof.? L'unica cosa che mi potrebbe davvero aiutare è sfruttare il fatto che $ f (x) $ è racchiusa tra l'asse del piano cartesiano e la funzione $ g(x) = x^2 $.
"gugo82":
Questo è un buon esercizio di Analisi I: dimostra che, se f,g:X→R sono continue in X, allora anche le due funzioni min{f,g} e max{f,g} sono continue in X.
Devo dimostrare che
\[
\forall x_0 \in I \qquad \lim_{x \to x_0 } \max \{ f(x), g(x) \} = \max \{ f(x_0), g(x_0)\}
\]
Pongo, per comodità, $ h(x) = \max \{ f(x), g(x) \} $. Pertanto:
\[
\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 : x \in \left( x_0 - \delta, x_0 + \delta \right) \Longrightarrow h(x_0) - \varepsilon \leq h(x) \leq h(x_0) + \varepsilon \qquad \forall x_0 \in I
\]
L'unico indizio che però so su $ f $ e $ g $ è che sono due funzioni continue...
Ipotesi:
\[
\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : x \in \left( x_0 - \delta_1, x_0 + \delta_1 \right) \Longrightarrow f(x_0) - \varepsilon \leq f(x) \leq f(x_0) + \varepsilon
\]
\[
\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_2 > 0 : x \in \left( x_0 - \delta_2, x_0 + \delta_2 \right) \Longrightarrow g(x_0) - \varepsilon \leq g(x) \leq g(x_0) + \varepsilon
\]
è una dimostrazione un po' lunga da scrivere qui. Però ne risulta che in effetti il $ max $ di due funzioni continue è anch'esso continuo nell'insieme di definizione $ I $ delle due funzioni.
Nel nostro esercizio, allora, l'unico punto da esaminare per confermare la continuità di $ f $ in tutto $ \mathbb{R} $ è $ x = 0 $.
https://fr.wiktionary.org/wiki/positif
https://fr.wiktionary.org/wiki/n%C3%A9gatif
e alcuni matematici francesi mi hanno confermato la cosa.
https://fr.wiktionary.org/wiki/n%C3%A9gatif
e alcuni matematici francesi mi hanno confermato la cosa.
OK, ci ho ragionato un po' su. Ho realizzato che in realtà questa funzione è la parte positiva e nulla della funzione
\[
g(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]
Prima di procedere però, voglio riportare qui i quesiti che mi vengono posti in merito a $ f (x) $:
\[
g(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]
Prima di procedere però, voglio riportare qui i quesiti che mi vengono posti in merito a $ f (x) $:
Determinare se la $ f $ è continua e derivabile sul suo dominio. Si determino inoltre i limiti alla frontiera del dominio.
Quali sono massimo, minimo, sup e inf dei valori assunti dalla funzione?
Riassumendo le informazioni raccolte, si disegni un grafico approssimativo di $ f $
[/list:u:9xof58cm]
Bada bene: il primo quesito non chiede se la funzione è $ C^1 $, come erroneamente pensavo io, che nel frattempo avevo cominciato a fare ragionamenti strani. Ci chiede però se $ f $ è $ C^0 $.
Ricordo che la nostra funzione è
\[
f(x) = \begin{cases}
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right)\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]
$ f $ è definita in tutto $ \mathbb{R} $, (la funzione, definita a tratti, "intercetta" l'unico problema che poteva avere $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) $: $ x = 0 $, restituendo $ 0 $ come valore). Ma sarà $ f $ continua in tutto $ \mathbb{R} $? E anche: sarà $ f $ continua in $ 0 $. Derivabile in $ 0 $? Derivabile in tutti i punti di $ \mathbb{R} $.
Prendo in considerazione
\[
g(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]
Questa è continua in tutto $ \mathbb{R} $. Dato che:
\[
-1 \leq \sin \left( \frac{1}{x}\right) \leq 1 \leadsto -x^2 \leq x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) \leq x^2
\]
e per il teorema dei carabinieri:
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) = 0 \]
che conferma che $ g(x) $ è continua in tutto $ \mathbb{R} $, in quanto:
\[
g(0)=0 \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) = 0
\]
(La continuità negli altri punti di $ \mathbb{R} $ è garantita dai vari teoremi sulla continuità di funzioni elementari e delle loro varie operazioni).
Lo stesso ragionamento si può dunque applicare anche per $ f (x) $. Infatti $ f (x) $ posso riscriverla anche come:
\[
f(x) = \max \left( 0, g(x) \right) = \max \left( 0,\begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \right)\text{.}
\]
che, per quanto detto prima, è continua in tutto $ \mathbb{R} $! Inoltre, il teorema dei carabinieri mi ha dato un' importante indicazione per disegnare il grafico: $ f $ è compresa tra $ 0 $ e $ x^2 $.
Ma dunque, sarà $ f $ anche derivabile in tutto $ \mathbb{R} $? Qui mi è utile considerare $ f $ però definita dalla legge seguente:
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } \sin \frac{1}{x} > 0 \\
0 & \text{se } \sin \frac{1}{x} < 0 \vee x = 0
\end{cases}
\]
Quindi adesso ci chiediamo: $ f $ è derivabile in $ 0 $? E in tutte le $ x $ tali che $ \sin \frac{1}{x} = 0 $?
Indaghiamo:
\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0
\]
(secondo voi come l'ho trovato il risultato? Ho fatto un calcolo a macchinetta, o ho usato qualcosa di più teorico?
)da cui si capisce che $ f $ è derivabile in $ 0 $. Lo sarà anche nei punti in cui $ \sin \frac{1}{x} = 0 $?
I punti da considerare sono quelli nell'intervallo.
Intuitivamente, la risposta è no, in quanto la funzione, bruscamente, cambia definizione proprio in questi punti. Però sarà necessario fare un calcolo ben rigoroso. Fosse stato un solo punto, avrei potuto dimostrarlo con il limite destro e sinistro della derivata in quel punto.
Come potrei procedere da qui? E inoltre, il ragionamento che sto facendo fin'ora è corretto?
Per la derivabilità in $0$, osserva che essendo $-x^2 <= f(x) <= x^2$, per i rapporti incrementali in $0$ hai:
\[
\forall h > 0,\qquad -h=\frac{-h^2-0}{h} \leq \frac{f(h)-f(0)}{h} \leq \frac{h^2 - 0}{h}=h
\]
ed analogamente:
\[
\forall h < 0,\qquad h=\frac{h^2-0}{h} \leq \frac{f(h)-f(0)}{h} \leq \frac{-h^2 - 0}{h}=-h
\]
da cui ottieni la derivabilità in $0$ per il Teorema dei Carabinieri.
Per quanto riguarda la derivabilità nei punti $x_k := 1/(k pi)$, osserva che puoi ragionare come in $x_1=1/pi$ e $x_2=1/(2pi)$, calcolando il rapporto incrementale a sinistra ed a destra e passando al limite.
\[
\forall h > 0,\qquad -h=\frac{-h^2-0}{h} \leq \frac{f(h)-f(0)}{h} \leq \frac{h^2 - 0}{h}=h
\]
ed analogamente:
\[
\forall h < 0,\qquad h=\frac{h^2-0}{h} \leq \frac{f(h)-f(0)}{h} \leq \frac{-h^2 - 0}{h}=-h
\]
da cui ottieni la derivabilità in $0$ per il Teorema dei Carabinieri.
Per quanto riguarda la derivabilità nei punti $x_k := 1/(k pi)$, osserva che puoi ragionare come in $x_1=1/pi$ e $x_2=1/(2pi)$, calcolando il rapporto incrementale a sinistra ed a destra e passando al limite.
Dato che la legge di $ f $ si può scrivere anche come
\[ f(x) := \begin{cases} x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } \sin \frac{1}{x} > 0 \\ 0 & \text{se } \sin \frac{1}{x} < 0 \vee x = 0 \end{cases} \]
vuol dire che anche la sua derivata prima sarà una funzione definita a tratti:
\[
f'(x) := \begin{cases}
2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } \frac{1}{\pi} < x < \frac{1}{2\pi} \\
0 & \text{altrimenti}
\end{cases}
\]
(per essere più pignoli, dovremmo considerare $ \frac{1}{\pi(n+1)} < x < \frac{1}{2\pi n} $, con $ n \in \mathbb{Z} $ )
da cui posso in teoria studiarne il segno. Stessa cosa per la concavità/convessità, studiando il segno della derivata seconda.
La mia domanda, per pura ignoranza che adesso voglio colmare, è la seguente: in questo caso, è davvero necessario studiare le due derivate per disegnare un grafico qualitativo della funzione, anche basandosi sui quesiti posti?
Mi pongo in questa domanda sapendo che, dato che gli intervalli di crescenza/decrescenza di $ f $ diventano sempre più piccoli all'avvicinarsi di $ x = 0 $, non è necessario (anzi è impossibile) plottare a mano su carta ogni "rimbalzo" che fa $ f $ all'avvicinarsi di $ x = 0 $: neanche i software ce la fanno.
Sono aperto a qualsiasi suggerimento/spiegazione, anche piccola.
Come sempre, grazie
\[ f(x) := \begin{cases} x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } \sin \frac{1}{x} > 0 \\ 0 & \text{se } \sin \frac{1}{x} < 0 \vee x = 0 \end{cases} \]
vuol dire che anche la sua derivata prima sarà una funzione definita a tratti:
\[
f'(x) := \begin{cases}
2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } \frac{1}{\pi} < x < \frac{1}{2\pi} \\
0 & \text{altrimenti}
\end{cases}
\]
(per essere più pignoli, dovremmo considerare $ \frac{1}{\pi(n+1)} < x < \frac{1}{2\pi n} $, con $ n \in \mathbb{Z} $ )
da cui posso in teoria studiarne il segno. Stessa cosa per la concavità/convessità, studiando il segno della derivata seconda.
La mia domanda, per pura ignoranza che adesso voglio colmare, è la seguente: in questo caso, è davvero necessario studiare le due derivate per disegnare un grafico qualitativo della funzione, anche basandosi sui quesiti posti?
Mi pongo in questa domanda sapendo che, dato che gli intervalli di crescenza/decrescenza di $ f $ diventano sempre più piccoli all'avvicinarsi di $ x = 0 $, non è necessario (anzi è impossibile) plottare a mano su carta ogni "rimbalzo" che fa $ f $ all'avvicinarsi di $ x = 0 $: neanche i software ce la fanno.
Sono aperto a qualsiasi suggerimento/spiegazione, anche piccola.
Come sempre, grazie
Guarda che non è $f'(x) = 0 " altrimenti"$... Altrimenti il problema non si porrebbe proprio.
Per quanto riguarda il resto, niente è "necessario" in questo caso: se si conoscono le funzioni elementari, si sa anche come vanno le cose.
Il punto -e l'utilità effettiva- dell'esercizio è un altro: riesci a formalizzare ciò che vedi?
Cioè, "si vede" che $f$ non è derivabile nei punti $x_k$; ma riesci a spiegare formalmente perché non lo è?
Storicamente, il "si vede" ha generato parecchi errori, come dovresti ben sapere; per questo al matematico è chiesto sempre di formalizzare in maniera più o meno rigorosa. Ed è molto più semplice (secondo me) imparare a formalizzare partendo da qualcosa che si riesce già a descrivere altrimenti, rispetto a giocare con qualcosa di cui non si ha conoscenza.[nota]E questo è, ad esempio, il motivo per cui impariamo prima a parlare (dai 6-8 mesi in su) e poi deduciamo le regole della grammatica italiana (verso i 6 anni, quando siamo alle elementari).[/nota]
Per quanto riguarda il resto, niente è "necessario" in questo caso: se si conoscono le funzioni elementari, si sa anche come vanno le cose.
Il punto -e l'utilità effettiva- dell'esercizio è un altro: riesci a formalizzare ciò che vedi?
Cioè, "si vede" che $f$ non è derivabile nei punti $x_k$; ma riesci a spiegare formalmente perché non lo è?
Storicamente, il "si vede" ha generato parecchi errori, come dovresti ben sapere; per questo al matematico è chiesto sempre di formalizzare in maniera più o meno rigorosa. Ed è molto più semplice (secondo me) imparare a formalizzare partendo da qualcosa che si riesce già a descrivere altrimenti, rispetto a giocare con qualcosa di cui non si ha conoscenza.[nota]E questo è, ad esempio, il motivo per cui impariamo prima a parlare (dai 6-8 mesi in su) e poi deduciamo le regole della grammatica italiana (verso i 6 anni, quando siamo alle elementari).[/nota]
"gugo82":
Cioè, "si vede" che f non è derivabile nei punti xk; ma riesci a spiegare formalmente perché non lo è?
In $ x = \frac{1}{\pi} $ si ha:
\begin{gather*}
\lim_{h \to 0^-} \frac{f \left( \frac{1}{\pi} + h\right) - f \left( \frac{1}{\pi} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{2h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left ( \frac{1}{\frac{1}{\pi} + h} \right) - \frac{\sin \left( \frac{1}{\pi}\right)}{\pi^2}}{h} = +\infty \\
\lim_{h \to 0^+} \frac{f \left( \frac{1}{\pi} + h\right) - f \left( \frac{1}{\pi} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{2h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left ( \frac{1}{\frac{1}{\pi} + h} \right) - \frac{\sin \left( \frac{1}{\pi}\right)}{\pi^2}}{h} = -\infty
\end{gather*}
e in $ x = \frac{1}{2\pi} $ si ha:
\begin{gather*}
\lim_{h \to 0^-} \frac{f \left( \frac{1}{2\pi} + h\right) - f \left( \frac{1}{2\pi} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\left(\frac{1}{4\pi^2} + \frac{h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left ( \frac{\pi^2}{1+2 \pi h} \right) - 0}{h} = +\infty \\
\lim_{h \to 0^+} \frac{f \left( \frac{1}{2\pi} + h\right) - f \left( \frac{1}{2\pi} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left(\frac{1}{4\pi^2} + \frac{h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left ( \frac{\pi^2}{1+2 \pi h} \right) - 0}{h} = -\infty
\end{gather*}
Non ne posso più! Ho ottenuto un bel po' di informazioni, ma ancora non sono esattamente certo su come tracciare su carta, in sede d'esame, questo grafico. Mi arrendo.
Ma anche no... I conti sono tutti sbagliati.
Per quanto riguarda il resto, così:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-0.5; ymax=0.5;
axes("","");
stroke="gray"; strokewidth=1;
plot("x^2",-2,2);
circle([0,0],0.064);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("x^2*sin(1/x)",0.318,2); plot("0",0.159, 0.318); plot("x^2*sin(1/x)",0.106,0.159); plot("0",0.08, 0.106); plot("x^2*sin(1/x)",0.064,0.08);
plot("0",-2,-0.318); plot("x^2*sin(1/x)",-0.318,-0.159); plot("0",-0.159,-0.106); plot("x^2*sin(1/x)",-0.106,-0.08); plot("0",-0.08,-0.064);[/asvg]
può andare bene (osserva che ho disegnato anche la parabola sotto la quale vive il grafico ed un cerchietto nella zona dove avvengono le cose "cattive"); il disegno l'ho ottenuto dal disegno del grafico di $x^2 sin (1/x)$ , cioè:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-0.5; ymax=0.5;
axes("","");
stroke="gray"; strokewidth=1;
plot("x^2",-2,2); plot("-x^2",-2,2);
circle([0,0],0.064);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
plot("x^2*sin(1/x)",-2,-0.064); plot("x^2*sin(1/x)",0.064,2);[/asvg]
troncandolo a zero nelle zone di negatività
Però avvengono cose interessanti anche al di fuori del cerchietto... Ad esempio: come si comporta il grafico intorno a $+oo$ e a $-oo$?
Per quanto riguarda il resto, così:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-0.5; ymax=0.5;
axes("","");
stroke="gray"; strokewidth=1;
plot("x^2",-2,2);
circle([0,0],0.064);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("x^2*sin(1/x)",0.318,2); plot("0",0.159, 0.318); plot("x^2*sin(1/x)",0.106,0.159); plot("0",0.08, 0.106); plot("x^2*sin(1/x)",0.064,0.08);
plot("0",-2,-0.318); plot("x^2*sin(1/x)",-0.318,-0.159); plot("0",-0.159,-0.106); plot("x^2*sin(1/x)",-0.106,-0.08); plot("0",-0.08,-0.064);[/asvg]
può andare bene (osserva che ho disegnato anche la parabola sotto la quale vive il grafico ed un cerchietto nella zona dove avvengono le cose "cattive"); il disegno l'ho ottenuto dal disegno del grafico di $x^2 sin (1/x)$ , cioè:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-0.5; ymax=0.5;
axes("","");
stroke="gray"; strokewidth=1;
plot("x^2",-2,2); plot("-x^2",-2,2);
circle([0,0],0.064);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
plot("x^2*sin(1/x)",-2,-0.064); plot("x^2*sin(1/x)",0.064,2);[/asvg]
troncandolo a zero nelle zone di negatività
Però avvengono cose interessanti anche al di fuori del cerchietto... Ad esempio: come si comporta il grafico intorno a $+oo$ e a $-oo$?
Ok fa male. Immagino che gli spettatori da casa stanno scoppiando dal ridere.
Vedo quello che posso fare ora.
EDIT: sono ancora sveglio.
Vedo quello che posso fare ora.
EDIT: sono ancora sveglio.
Ho aggiunto un disegno al post precedente, da cui si vede che non è possibile ottenere (come erroneamente mostrerebbero i tuoi calcoli) punti a tangente verticale nel grafico: troncando la funzione $x^2 sin(1/x)$ a zero nelle zone di negatività al massimo vengono fuori dei punti angolosi.
Ricarica la pagina... Ed abituati: quando ci si deve sporcare le mani coi calcoli, può capitare a tutti di sbagliare.
Ricarica la pagina... Ed abituati: quando ci si deve sporcare le mani coi calcoli, può capitare a tutti di sbagliare.
"ncant":
EDIT: sono ancora sveglio.
[ot]Vai a dormire
. O meglio, tanto ormai sei in sessione (quindi, sicuramente continui così fino a che non dai gli esami) e ora stai conducendo questo stile di vita per il quale è necessario qualche giorno per riprendersi; ma ti ribadisco, soprattutto per esperienza personale, che non ti conviene portarlo avanti per la produttività all'università.[/ot]
"gugo82":
come si comporta il grafico intorno a $+oo$ e a $-oo$?
In realtà, dovessero esserci limiti per $ x \to \pm \infty $, questi assumono valore compreso tra $ [0, +\infty) $, in quanto $ f $ può assumere valori solo positivi o nulli.
Posso valutare
\[
h(x) = x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right)
\]
e dato che stiamo invece parlando di $ \max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right) $, possiamo dire con certezza che, dovesse $ h (x) \to -\infty $, $f(x) $ tenderà invece a $ 0 $.
\[
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \sim \frac{1}{x} \Longrightarrow x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) \sim x^2 \frac{1}{x} = x
\]
da cui si ottiene che $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $ (per quanto citato sopra).
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