Studio di funzione

[ale_kitchen02]

Ciao a tutti, sto provando a svolgere lo studio di funzione di:

$f(x)=ln(arctan(|x|/(x+1)))$

Sono riuscito a fare tutto tranne lo studio del segno della funzione, potete aiutarmi?

[Mephlip]

Ciao!

Suggerimento: il dominio naturale di $f$ è $]-1,0[ \cup ]0,+\infty[$. Per $x>0$, è $|x|=x$ e quindi puoi dedurre velocemente il segno di $f$ per $x>0$ trovando delle disuguaglianze per $\frac{|x|}{x+1}$ e sfruttando il fatto che $\text{arctan}$ è strettamente crescente.

Se $-1 $$\lim_{x \to (-1)^+} f(x)=\log(\pi/2)>0$$
$$[f(x)=0] \iff \left[x=-\frac{\tan 1}{\tan1+1}\in(-1,0) \right]$$
$$\lim_{x \to 0^-} f(x)=-\infty$$
Pertanto, essendo $f$ continua e strettamente decrescente in $]-1,0[$ (in quanto composizione delle due funzioni strettamente crescenti $\text{log}$ e $\text{arctan}$ nei loro domini naturali con la funzione strettamente decrescente $\frac{|x|}{x+1}$ nell'intervallo $]-1,0[$), restringendosi a $]-1,0[$ segue che $f(x)>0$ per ogni $x\in \left(-1,-\frac{\tan 1}{\tan1+1}\right)$ ed $f(x)<0$ per ogni $x \in \left(-\frac{\tan 1}{\tan 1+1},0\right)$. Devi completare lo studio per $x>0$ ragionando sul suggerimento precedente.

[ale_kitchen02]

ok, grazie mille.
Avevo impostato la disequazione

$|x|/(x+1)>=tan(1)$

e distinto i casi per x>0 e x<0

lo studio del segno per $x<0$ mi veniva, ma a causa di un errore di segno mi usciva che la funzione era sempre positiva per $x>0$

[Mephlip]

Sì, va benissimo. Sono io che rispondo troppo in fretta.

Puoi usare l'approccio ultra-complicato che ho scritto del caso $-1