Studio di funzione
Salve mi è stata assegnata la funzione:
$xlog|x|-arctan((|x|+x+2)/2)$
di questa funzione devo:
1) determinare il campo di esistenza ed eventuali punti singolari.
2)determinare eventuali asintoti
3)studiarne la derivabilità e il segno della derivata.
Risolvendo ho ottenuto che:
1) il campo di esistenza è tutto $R\{0}$ con x=0 punto di singolarità eliminabile.
2) non ci sono asintoti.
3) qui arrivano i problemi, ho provato a derivare la funzione pensandola come 2 funzioni diverse una
$xlog|x|$ e l'altra $arctan((|x|+x+2)/2)$
ora la prima mi viene $logx+1$ mentre nella seconda ho qualche problema, perchè a me viene
$-(1/(1+((|x|+x+2)/2)^2))* |x|/x$ però non corrisponde col risultato... aiutooo ahahah
$xlog|x|-arctan((|x|+x+2)/2)$
di questa funzione devo:
1) determinare il campo di esistenza ed eventuali punti singolari.
2)determinare eventuali asintoti
3)studiarne la derivabilità e il segno della derivata.
Risolvendo ho ottenuto che:
1) il campo di esistenza è tutto $R\{0}$ con x=0 punto di singolarità eliminabile.
2) non ci sono asintoti.
3) qui arrivano i problemi, ho provato a derivare la funzione pensandola come 2 funzioni diverse una
$xlog|x|$ e l'altra $arctan((|x|+x+2)/2)$
ora la prima mi viene $logx+1$ mentre nella seconda ho qualche problema, perchè a me viene
$-(1/(1+((|x|+x+2)/2)^2))* |x|/x$ però non corrisponde col risultato... aiutooo ahahah
Risposte
Ciao michael046,
Scrivi bene...
1) il dominio della funzione proposta è $D = \RR - {0} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ e nel punto $x = 0 $ si ha una singolarità eliminabile in quanto $\lim_{x \to 0} f(x) = -\pi/4 $
3) La derivata della funzione $f(x) = xlog|x|-arctan((|x|+x+2)/2) $ mi risulta essere la seguente:
$f'(x) = - (|x| + x)/(|x| [|x|(2 + x) + x^2 + 2x + 4]) + log(x) + 1 $
Visto il dominio, per semplificare le cose puoi considerare separatamente la parte $x > 0 $ e quella $x < 0 $, ricordando che
$|x| := {(x \text{ se } x >=0),(- x \text{ se } x < 0):}$
Scrivi bene...
1) il dominio della funzione proposta è $D = \RR - {0} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ e nel punto $x = 0 $ si ha una singolarità eliminabile in quanto $\lim_{x \to 0} f(x) = -\pi/4 $
3) La derivata della funzione $f(x) = xlog|x|-arctan((|x|+x+2)/2) $ mi risulta essere la seguente:
$f'(x) = - (|x| + x)/(|x| [|x|(2 + x) + x^2 + 2x + 4]) + log(x) + 1 $
Visto il dominio, per semplificare le cose puoi considerare separatamente la parte $x > 0 $ e quella $x < 0 $, ricordando che
$|x| := {(x \text{ se } x >=0),(- x \text{ se } x < 0):}$
"pilloeffe":
3) La derivata della funzione $f(x) = xlog|x|-arctan((|x|+x+2)/2) $ mi risulta essere la seguente:
$f'(x) = - (|x| + x)/(|x| [|x|(2 + x) + x^2 + 2x + 4]) + log(x) + 1 $
Ok fino a $log(x)+1$ ci sono che è la derivata di $xlog|x|$.
Però è questa $f'(x) = - (|x| + x)/(|x| [|x|(2 + x) + x^2 + 2x + 4])$ che non riesco ad ottenere, potresti spiegarmi passo passo come fai?
È un'altra cosa se volessi usare la definizione di valore assoluto per calcolare la derivata nelle 2 parti del dominio come faccio? Perche verrebbe la derivata di $xlog(-x)-arctan(1)$ e ad esempio il log di un numero negativo non esiste...
Attenzione: in quel caso avresti $\ln(-x)$ ma sei nel caso $x<0$, quindi $-x>0$.
ok mephlip grazie per la risposta non mi ero reso conto della baggianata che stavo scrivendo ahahah invece sapresti aiutarmi con la derivata di $arctan((|x|+x+2)/2)$?
Non vedo grossi problemi...
Si tratta di trovare la derivata di $ arctan[g(x)] $, avendo posto $g(x):= (|x| + x + 2)/2 $, per cui si ha:
$D {arctan[g(x)]} = \frac{g'(x)}{1 + g^2(x)} = \frac{(|x| + x)/(2|x|)}{1 + ((x |x|)/2 + |x|^2/4 + |x| + x^2/4 + x + 1)} = $
$ = \frac{(|x| + x)/(2|x|)}{(x |x|)/2 + |x| + x^2/2 + x + 2} = \frac{|x| + x}{2|x|[(x |x|)/2 + |x| + x^2/2 + x + 2]} = $
$ = \frac{|x| + x}{|x|[x |x| + 2|x| + x^2 + 2x + 4]} = \frac{|x| + x}{|x|[|x|(x + 2) + x^2 + 2x + 4]} $
avendo osservato che naturalmente $|x|^2/4 + x^2/4 = x^2/4 + x^2/4 = x^2/2 $
Si tratta di trovare la derivata di $ arctan[g(x)] $, avendo posto $g(x):= (|x| + x + 2)/2 $, per cui si ha:
$D {arctan[g(x)]} = \frac{g'(x)}{1 + g^2(x)} = \frac{(|x| + x)/(2|x|)}{1 + ((x |x|)/2 + |x|^2/4 + |x| + x^2/4 + x + 1)} = $
$ = \frac{(|x| + x)/(2|x|)}{(x |x|)/2 + |x| + x^2/2 + x + 2} = \frac{|x| + x}{2|x|[(x |x|)/2 + |x| + x^2/2 + x + 2]} = $
$ = \frac{|x| + x}{|x|[x |x| + 2|x| + x^2 + 2x + 4]} = \frac{|x| + x}{|x|[|x|(x + 2) + x^2 + 2x + 4]} $
avendo osservato che naturalmente $|x|^2/4 + x^2/4 = x^2/4 + x^2/4 = x^2/2 $
"pilloeffe":
$(|x| + x)/(2|x|)$
domanda stupida...
ma la derivata di $(|x|+x+2)/2$ a me viene: $(|x|/x+1)/2$ procedendo alla semplificazione mi verrebbe
$((|x|+x)/x)/2$ per le proprietà delle frazioni quindi $(|x|+x)/(2x)$ ma ho notato che tu al denominatore metti $2|x|$ non riesco a capire il perchè..
Un'altra cosa,
nella derivata compare $log(x)$ ma nel dominio la x può assumere valori negativi, quindi nel calcolo della monotonia nell'intervallo $]-oo;0[$ devo ignorare il log giusto?
Inoltre a me la derivata viene positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$ è giusto?
"pilloeffe":
La derivata della funzione $f(x)=xlog|x|−arctan(|x|+x+2)$ mi risulta essere la seguente:
$f'(x)=−(|x|+x)/(|x|[|x|(2+x)+x^2+2x+4]+log(x)+1)$
nella derivata compare $log(x)$ ma nel dominio la x può assumere valori negativi, quindi nel calcolo della monotonia nell'intervallo $]-oo;0[$ devo ignorare il log giusto?
Inoltre a me la derivata viene positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$ è giusto?
Per quanto riguarda il segno della derivata,
io pongo $log(x)+1-(|x|+x)/(|x|(|x|(x+2)+x^2+2x+4))>0$ e lo valuto nei 2 intervalli del dominio:
nell'intervallo $]-oo;0[$ ottengo
$log (x)+1+1/(4x)$ il log in quell'intervallo non esiste mentre tutto il resto della derivata assumerà valore positivo per $x>-1/4$
nell'intervallo $]0;+oo[$ invece avrò:
$log (x)+1-(2x)/(x^3+4x^2+4x)$ ora sappiamo che $log(x)+1$ è sempre positivo quindi per trovarmi il segno di tutta la funzione basta porre $-(2x)/(x^3+4x^2+4x)>0$ che dovrebbe essere sempre negativo, ora però come faccio a trovare per quali x la funzione è positiva?
io pongo $log(x)+1-(|x|+x)/(|x|(|x|(x+2)+x^2+2x+4))>0$ e lo valuto nei 2 intervalli del dominio:
nell'intervallo $]-oo;0[$ ottengo
$log (x)+1+1/(4x)$ il log in quell'intervallo non esiste mentre tutto il resto della derivata assumerà valore positivo per $x>-1/4$
nell'intervallo $]0;+oo[$ invece avrò:
$log (x)+1-(2x)/(x^3+4x^2+4x)$ ora sappiamo che $log(x)+1$ è sempre positivo quindi per trovarmi il segno di tutta la funzione basta porre $-(2x)/(x^3+4x^2+4x)>0$ che dovrebbe essere sempre negativo, ora però come faccio a trovare per quali x la funzione è positiva?
Beh, si ha:
$ (|x|+x)/(2x) = (|x|+x)/(2|x|) = 1/2 (\text{sgn}(x) + 1) $
Per quanto riguarda la derivata mi sa che sei giunto a conclusioni errate perché per $x > 0 $ la derivata è inizialmente negativa, poi nulla (la funzione ha un minimo) ed infine positiva. Attenzione poi che per $x < 0 $ devi usare l'altra espressione del logaritmo $log(- x) $ che esiste perché $ x < 0 $.
$ (|x|+x)/(2x) = (|x|+x)/(2|x|) = 1/2 (\text{sgn}(x) + 1) $
Per quanto riguarda la derivata mi sa che sei giunto a conclusioni errate perché per $x > 0 $ la derivata è inizialmente negativa, poi nulla (la funzione ha un minimo) ed infine positiva. Attenzione poi che per $x < 0 $ devi usare l'altra espressione del logaritmo $log(- x) $ che esiste perché $ x < 0 $.
potresti aiutarmi a calcolare il segno della derivata che non riesco proprio?
Hai fatto un po' di pasticcetti con i conti. La derivata è
$f'(x)=\{(1+log(-x), if x<0),(1+logx-1/(1+(x+1)^2),if x>0 ):}$
Il primo pezzo è positivo per $x< -1/e$ e negativo per $-1/ea$ e negativo per $0
$f'(x)=\{(1+log(-x), if x<0),(1+logx-1/(1+(x+1)^2),if x>0 ):}$
Il primo pezzo è positivo per $x< -1/e$ e negativo per $-1/e
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