Studio di funzione
Buonasera,
mi piacerebbe discutere lo studio di funzione della presente $ f(x)=(xe^(-x))/(x-ln(x))$
Cosi qualora si presentassero "quasi sicuramente
" degli errori li vorrei discutere.
1. Dominio
La seguente funzione è definita per ogni $x in mathbb{R}$ tale che soddisfi il seguente sistema
\(\displaystyle X=\begin{cases} x>0, & \mbox{c.e. funzione logaritmica } \\ x-ln(x) \ne 0 , & \mbox{c.e. funzione al denominatore } \end{cases} \)
La prima condizione è banalmente verificata; quindi studiamo la seconda condizione ovvero:
siano $g(x)=x$ e $h=ln(x)$, bisogna verificare che per ogni $x>0$ si abbia
$x>ln(x)$.
Potrei applicare il seguente criterio:
Siano $z(x)$ e $t(x)$ due funzioni continue in $[a,b]$ e derivabili $(a,b)$. Supponendo che $z(a) ge t(a)$ e che $z'(a) ge t'(a)$ per ogni $x in (a,b)$ allora $z(x) ge t(x)$ per ogni $x in [a,b].$
Oppure potrei confermare dicendo che $x>ln(x)$ per $x>0$
Mi fermo quà per via del segno del denominatore.
mi piacerebbe discutere lo studio di funzione della presente $ f(x)=(xe^(-x))/(x-ln(x))$
Cosi qualora si presentassero "quasi sicuramente
" degli errori li vorrei discutere. 1. Dominio
La seguente funzione è definita per ogni $x in mathbb{R}$ tale che soddisfi il seguente sistema
\(\displaystyle X=\begin{cases} x>0, & \mbox{c.e. funzione logaritmica } \\ x-ln(x) \ne 0 , & \mbox{c.e. funzione al denominatore } \end{cases} \)
La prima condizione è banalmente verificata; quindi studiamo la seconda condizione ovvero:
siano $g(x)=x$ e $h=ln(x)$, bisogna verificare che per ogni $x>0$ si abbia
$x>ln(x)$.
Potrei applicare il seguente criterio:
Siano $z(x)$ e $t(x)$ due funzioni continue in $[a,b]$ e derivabili $(a,b)$. Supponendo che $z(a) ge t(a)$ e che $z'(a) ge t'(a)$ per ogni $x in (a,b)$ allora $z(x) ge t(x)$ per ogni $x in [a,b].$
Oppure potrei confermare dicendo che $x>ln(x)$ per $x>0$
Mi fermo quà per via del segno del denominatore.
Risposte
Ciao galles90,
Secondo me la stai facendo più complicata di quello che è...
La funzione proposta è la seguente:
$ f(x)=(xe^(-x))/(x-ln(x)) $
Essa è definita nel dominio $D = (0, +\infty) = \RR^+ $ ed ivi è positiva. Il denominatore è sempre diverso da $0$, infatti la funzione $y = x $ è sempre maggiore della funzione $y = ln(x) $, i cui grafici sono elementari.
Poi si ha:
$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 $
$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $
Dunque la funzione presenta un asintoto orizzontale di equazione $y = 0 $ (asse $x$)
Studiando il segno della derivata prima poi troverai un massimo nel punto $M(1, 1/e) $
Secondo me la stai facendo più complicata di quello che è...
La funzione proposta è la seguente:
$ f(x)=(xe^(-x))/(x-ln(x)) $
Essa è definita nel dominio $D = (0, +\infty) = \RR^+ $ ed ivi è positiva. Il denominatore è sempre diverso da $0$, infatti la funzione $y = x $ è sempre maggiore della funzione $y = ln(x) $, i cui grafici sono elementari.
Poi si ha:
$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 $
$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $
Dunque la funzione presenta un asintoto orizzontale di equazione $y = 0 $ (asse $x$)
Studiando il segno della derivata prima poi troverai un massimo nel punto $M(1, 1/e) $
Pilloeffe grazie per la risposta 
si mi piace complicarmi la vita
In verità questo lo sò, l'ho anche detto
non lo so se potrebbe bastare dicendo solamente "essendo che è una diseguaglianza nota" che $x>ln(x)$, con $x>0$.
Oppure dovrei ricorrere all'uso delle derivate ? tu come dici ?
"pilloeffe":
Ciao galles90,
Secondo me la stai facendo più complicata di quello che è...
si mi piace complicarmi la vita
In verità questo lo sò, l'ho anche detto
"pilloeffe":
Ciao galles90,
Essa è definita nel dominio $ D = (0, +\infty) = \RR^+ $ ed ivi è positiva. Il denominatore è sempre diverso da $ 0 $, infatti la funzione $ y = x $ è sempre maggiore della funzione $ y = ln(x) $, i cui grafici sono elementari.
non lo so se potrebbe bastare dicendo solamente "essendo che è una diseguaglianza nota" che $x>ln(x)$, con $x>0$.
Oppure dovrei ricorrere all'uso delle derivate ? tu come dici ?
"galles90":
Pilloeffe grazie per la risposta
Prego.
"galles90":
non lo so se potrebbe bastare dicendo solamente "essendo che è una diseguaglianza nota" che $x>ln(x) $, con $ x>0 $.
Oppure dovrei ricorrere all'uso delle derivate ?
Vedi tu...
Il mio mitico professore di Matematica del Liceo scientifico, pace all'anima sua, soleva dire:
"Svegliati in piena notte, dopo una notte di bagordi, alla richiesta dei grafici delle funzioni elementari $y = x $, $y = e^x $ e $ y = ln(x) $ deve essere data risposta senza esitazione... "
Grande il professore 
Comunque essendo nota, la lascio tutto cosi
Comunque essendo nota, la lascio tutto cosi
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