Studio di funzione

[Anacleto13]

Durante questo studio di funzione mi sono sorti un paio di dubbi:

$f(x)=|3-x|/(3-x)(1/log(x-1)+3-x)$

$\lim_{x \to \+infty}|3-x|/(3-x)(1/log(x-1)+3-x)$

Voglio rimuovere il valore assoluto quindi:

$|3-x|={(3-x,if x<=3),(x-3,if x>3):}$

$\lim_{x \to \+infty}(x-3)/(3-x)(1/log(x-1)+3-x)$
$\lim_{x \to \+infty}-1(1/log(x-1)+3-x) = +infty$

Non sono molto sicuro della definizione di valore assoluto..è corretto in quel modo?

Secondo non riesco a capire come mai la derivata del valore assoluto è scritta in questo modo

$f'(x)=sign(x-3)(1/(log(x-1)^2)*1/(x-1)+1)$

[bosmer-votailprof]

Si la definizione è corretta così come il risultato del limite.

La scrittura $\text{sign}(x-3)$ sta a indicare la funzione segno definita come
$$
\text{sign}(x)=\begin{cases} 1 \, &\text{ if } \, x>0 \\ -1 \, &\text{ if } \, x<0 \end{cases}
$$
che nel tuo caso significa
$$
\text{sign}(x-3)=\begin{cases} 1 \, &\text{ if } \, x>3 \\ -1 \, &\text{ if } \, x<3 \end{cases}
$$
che per la tua derivata significa che
$$ f'(x)=\text{sign}(x-3)\left(\frac{1}{\log(x-1)^2}\cdot\frac{1}{x-1}+1\right) = \begin{cases} \left(\frac{1}{\log(x-1)^2}\cdot\frac{1}{x-1}+1\right) \, &\text{ if } \, x>3 \\ -\left(\frac{1}{\log(x-1)^2}\cdot\frac{1}{x-1}+1\right) \, &\text{ if } \, x<3 \end{cases}$$

quando l'argomento della funzione segno è nullo, essa non è definita, cioè $\text{sign}(x)$ non è definita per $x=0$, mentre $\text{sign}(x-3)$ non è definita per $x=3$.

la funzione segno si può definire anche usando il modulo, ad esempio $\text{sign}(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{|-x|}$ come puoi verificare, oppure come succede nel tuo esempio quando provi a derivare : $\text{sign}(x-3)=\frac{x-3}{|3-x|}$.
Entrambi sono facili esempi che puoi verificare applicando la definizione di modulo.