Studio di funzione
Salve a tutti, ho la seguente funzione:
\(\displaystyle f(x)=\frac{|x^2-2x|}{2x^2+1} \)
(1) Studiare la derivabilità della funzione f nel suo insieme di definizione.
(2) Studiare la monotonia della funzione f e, se essa ammette estremi, specificare se sono assoluti.
(3) Dire, giustificando la risposta, se la funzione f è invertibile nell’intervallo [8; 10].
Ora il dominio è tutto R.
Ma non so come poter studiare i seguenti punti, potreste darmi una mano.
\(\displaystyle f(x)=\frac{|x^2-2x|}{2x^2+1} \)
(1) Studiare la derivabilità della funzione f nel suo insieme di definizione.
(2) Studiare la monotonia della funzione f e, se essa ammette estremi, specificare se sono assoluti.
(3) Dire, giustificando la risposta, se la funzione f è invertibile nell’intervallo [8; 10].
Ora il dominio è tutto R.
Ma non so come poter studiare i seguenti punti, potreste darmi una mano.
Risposte
Per il punto (2) dovresti fare uno studio di funzione, per la (3) verificare la biiettività della funzione in quell'intervallo. Quali sono i tuoi dubbi?
Intanto puoi cominciare con osservare che il numeratore è in valore assoluto quindi $>=0$ sempre, il denominatore $2x^2+1>0$ sempre, puoi dedurre che la funzione ha sempre valori positivi e si annulla solamente per $x=0$ ed $x=2$, è chiaramente definita in tutto $R $, i punti $x=0$ ed $x=2$ sono gli unici punti di non derivabilita detti angolosi, puoi facilmente verificarlo in quanto se provi a calcolare la derivata sinistra e destra in uno dei punti suddetti risulteranno diverse, prova!
La funzione vale $(x^2-2x)/(2x^2+1) $ nell'intervallo $[0,-infty [$, ed nell' intervallo $[2,+infty [$, mentre vale $(2x-x^2)/(2x^2+1) $ nell'intervallo $[0,2] $
La funzione vale $(x^2-2x)/(2x^2+1) $ nell'intervallo $[0,-infty [$, ed nell' intervallo $[2,+infty [$, mentre vale $(2x-x^2)/(2x^2+1) $ nell'intervallo $[0,2] $
@francicko: Non mi è chiaro questo intervallo: $ [0,-infty [ $ per la funzione $ (x^2-2x)/(2x^2+1) $
Poi sono tutti valori compresi?
Ho preso la funzione ed studiato il valore assoluto.
Poi sono tutti valori compresi?
Ho preso la funzione ed studiato il valore assoluto.
Sì, intendo che per ogni $x <0$, la funzione è $(x^2-2x)/(2x^2+1) $
Ho la seguente funzione:
L'ho divisa in due parti:
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-2x}{2x^2+1} && ]-\infty,02,+\infty[ \\ \frac{2x-x^2}{2x^2+1} && ]0,2[ \end{cases} \)
Calcoliamo la derivate:
\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases} \frac{2(2x^2+x-1)}{(2x^2+1)^2} && ]-\infty,02,+\infty[ \\ \frac{-2(2x^2+x-1)}{(2x^2+1)^2} && ]0,2[ \end{cases} \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f'(x)=-2 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+}f'(x)=2 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 2^-}f'(x)= \frac{-2}{9} \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 2^+}f'(x)= \frac{2}{9} \)
Quindi ho due punti angolosi.
Essendo ho due punti angolosi, la funzione non è derivabile in x = 0 e x = 2.
L'ho divisa in due parti:
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-2x}{2x^2+1} && ]-\infty,02,+\infty[ \\ \frac{2x-x^2}{2x^2+1} && ]0,2[ \end{cases} \)
Calcoliamo la derivate:
\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases} \frac{2(2x^2+x-1)}{(2x^2+1)^2} && ]-\infty,02,+\infty[ \\ \frac{-2(2x^2+x-1)}{(2x^2+1)^2} && ]0,2[ \end{cases} \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f'(x)=-2 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+}f'(x)=2 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 2^-}f'(x)= \frac{-2}{9} \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 2^+}f'(x)= \frac{2}{9} \)
Quindi ho due punti angolosi.
Essendo ho due punti angolosi, la funzione non è derivabile in x = 0 e x = 2.
Esatto!
Adesso prova a vedere dove si annullano le derivate prime e se tali punti in cui si annullano rientrano nell'intervallo a cui è associata la funzione, se non erro dovresti avere dei massimi per $x=-1$ ed $x=1/2$,prova a verificarlo.
Adesso prova a vedere dove si annullano le derivate prime e se tali punti in cui si annullano rientrano nell'intervallo a cui è associata la funzione, se non erro dovresti avere dei massimi per $x=-1$ ed $x=1/2$,prova a verificarlo.
Dici:
\(\displaystyle (2x^2+x-1) = 0 \)
In $ x=-1 $ e $ x=1/2 $
Ma anche:
\(\displaystyle (-2x^2-x+1) = 0 \)
In $ x=-1 $ e $ x=1/2 $
Come fai ad dire cosi subito che sono due massimi?
Quindi poniamo la prima derivata:
\(\displaystyle (2x^2+x-1) > 0 \)
Otteniamo:
$ x<-1 $ V $ x>1/2 $
La funzione è definita in: $ ]-\infty,02,+\infty[ $
Quindi:
$ ]-\infty,-1[ $ cresce
$ ]-1,0[ $ decresce
$ ]2,+\infty[ $ cresce
Quindi:
Punto di massimo: -1
Punti di minimo: 0 e 2
Quindi poniamo la seconda derivata:
\(\displaystyle (-2x^2-x+1) > 0 \)
\(\displaystyle (2x^2+x-1) < 0 \)
Otteniamo:
$ -1
Quindi:
$ ]0,1/2[ $ cresce
$ ]1/2,2[ $ decresce
Quindi:
Punto di massimo: $ 1/2 $
Punti di minimo: 0 e 2
Se nella funzione originale sostituisco sia 0 e 2, ottengo 0, quindi sono entrambi due minimi assoluti.
Se nella funzione originale sostituisco -1 e $ 1/2 $, ottengo in ordine $1/3$ e $1/2$, prendo il più piccolo $1/3$.
Quindi ottengo un massimo (non assoluto) nel punto (1/2,1/2), si ha un massimo assoluto nel punto (-1,1/3).
Dimmi se sbaglio qualcosa nelle mie considerazione o nei calcoli, al momento.
\(\displaystyle (2x^2+x-1) = 0 \)
In $ x=-1 $ e $ x=1/2 $
Ma anche:
\(\displaystyle (-2x^2-x+1) = 0 \)
In $ x=-1 $ e $ x=1/2 $
Come fai ad dire cosi subito che sono due massimi?
Quindi poniamo la prima derivata:
\(\displaystyle (2x^2+x-1) > 0 \)
Otteniamo:
$ x<-1 $ V $ x>1/2 $
La funzione è definita in: $ ]-\infty,02,+\infty[ $
Quindi:
$ ]-\infty,-1[ $ cresce
$ ]-1,0[ $ decresce
$ ]2,+\infty[ $ cresce
Quindi:
Punto di massimo: -1
Punti di minimo: 0 e 2
Quindi poniamo la seconda derivata:
\(\displaystyle (-2x^2-x+1) > 0 \)
\(\displaystyle (2x^2+x-1) < 0 \)
Otteniamo:
$ -1
Quindi:
$ ]0,1/2[ $ cresce
$ ]1/2,2[ $ decresce
Quindi:
Punto di massimo: $ 1/2 $
Punti di minimo: 0 e 2
Se nella funzione originale sostituisco sia 0 e 2, ottengo 0, quindi sono entrambi due minimi assoluti.
Se nella funzione originale sostituisco -1 e $ 1/2 $, ottengo in ordine $1/3$ e $1/2$, prendo il più piccolo $1/3$.
Quindi ottengo un massimo (non assoluto) nel punto (1/2,1/2), si ha un massimo assoluto nel punto (-1,1/3).
Dimmi se sbaglio qualcosa nelle mie considerazione o nei calcoli, al momento.
Credo, che le tue considerazioni sono perfette!
Per quanto riguarda il fatto che la funzione assume valori minimi nei punti angolosi , dove si azzera, questo è evidente in quanto non può assumere valori negativi , per quanto riguarda i punti di massimo, si deduce dallo studio del segno della derivata prima e quindi crescenza e decrescenza come tu hai ben fatto, oppure si può dedurre dal fatto che nell'immediato intorno destro di $0$ la funzione dovendo assumere necessariamente valori positivi la funzione è crescente, per poi decrescere , deve nuovamente annullare in $x=2$ ,inoltre il punto in cui si annulla la derivata prima $x=1/2$ è unico nell'intervallo $[0,2] $, quindi non può che essere un punto di massimo, idem per il punto $x=-1$, in quanto nell'immediato intorno sinistro di $0$ la funzione decresce , inoltre $lim_(x->-infty ) (x^2-2x)/(2x^2+1)=1/2$ ed essendo $f (-1)=1$ ed $x=-1$ l'unico punto dell' intervallo $]-infty,0] $ in cui si annulla la rispettiva derivata non può che essere un punto di massimo, stiamo ragionando all'interno di intervalli dove la funzione è derivabile e quindi continua,ti convince il mio ragionamento?
Inoltre anche $lim_(x->+infty)f (x)=1/2$, quindi ha un asintoto orizzontale $y=1/2$, che risulterà quindi tangente alla funzione nel punto $x=1/2$, ho provato ad eseguire il grafico con Wolfram e sembra che tutto coincida, rimane da stabilire l'invertibilita, e se non ricordo male, significa vedere se la funzione è biunivoca almeno nel tratto proposto dal problema.
Per quanto riguarda il fatto che la funzione assume valori minimi nei punti angolosi , dove si azzera, questo è evidente in quanto non può assumere valori negativi , per quanto riguarda i punti di massimo, si deduce dallo studio del segno della derivata prima e quindi crescenza e decrescenza come tu hai ben fatto, oppure si può dedurre dal fatto che nell'immediato intorno destro di $0$ la funzione dovendo assumere necessariamente valori positivi la funzione è crescente, per poi decrescere , deve nuovamente annullare in $x=2$ ,inoltre il punto in cui si annulla la derivata prima $x=1/2$ è unico nell'intervallo $[0,2] $, quindi non può che essere un punto di massimo, idem per il punto $x=-1$, in quanto nell'immediato intorno sinistro di $0$ la funzione decresce , inoltre $lim_(x->-infty ) (x^2-2x)/(2x^2+1)=1/2$ ed essendo $f (-1)=1$ ed $x=-1$ l'unico punto dell' intervallo $]-infty,0] $ in cui si annulla la rispettiva derivata non può che essere un punto di massimo, stiamo ragionando all'interno di intervalli dove la funzione è derivabile e quindi continua,ti convince il mio ragionamento?
Inoltre anche $lim_(x->+infty)f (x)=1/2$, quindi ha un asintoto orizzontale $y=1/2$, che risulterà quindi tangente alla funzione nel punto $x=1/2$, ho provato ad eseguire il grafico con Wolfram e sembra che tutto coincida, rimane da stabilire l'invertibilita, e se non ricordo male, significa vedere se la funzione è biunivoca almeno nel tratto proposto dal problema.
Ogni volta mi perdo in tutte queste considerazioni.
Essendo che abbiamo detto che nell'intervallo $ ]2,+\infty[ $ la funzione è crescente il tratto considerato è $ ]8,10[ $ quindi è invertibile.
Esiste un modo per dimostrarlo formalmente?
Alla fine mi viene chiesto di calcolare:
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}f(x)dx \)
e darne la relativa interpretazione geometrica.
Non sto riuscendo a risolvere questo integrale, qualche consiglio?
Essendo che abbiamo detto che nell'intervallo $ ]2,+\infty[ $ la funzione è crescente il tratto considerato è $ ]8,10[ $ quindi è invertibile.
Esiste un modo per dimostrarlo formalmente?
Alla fine mi viene chiesto di calcolare:
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}f(x)dx \)
e darne la relativa interpretazione geometrica.
Non sto riuscendo a risolvere questo integrale, qualche consiglio?
Le considerazioni che ti ho riportato su penso siano corrette, come d'altronde anche le tue, il grafico della funzione coincide con quello di Wolfram, per quanto riguarda l'invertibilita, credo che bisogna rifarsi al fatto che una funzione strettamente monotona è invertibile, e nel caso qui, la funzione nel tratto considerato è strettamente crescente, per l'esercizio sull'integrale, penso che devi calcolare intanto la funzione primitiva, $f (x) $ è la funzione che abbiamo trattato? Ti consiglio di aprire un altro thread in modo da avere più facilmente la risposta.
Si, la funzione è quella.
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