Studio di funzione
Ciao a tutti, ho alcune difficoltà con lo studio di funzione, o meglio, avendo cambiato cambiato docente, mi ritrovo delle richieste all'interno dello studio di funzione mai viste prima d'ora. Magari saranno semplici però mi manca l'input per capire come procedere. Qui di seguito ne scriverò alcuni:
1- Data la funzione:
$f(x) = (1+x) log(x/(1+x))-log|x|$
dire per quali $a in RR$ la funzione $f(x) = a$ ammette un'unica soluzione;
2- Data la funzione:
$f(x) = |x+4| - log(1-3/x)$
dire quante soluzioni ammette l'equazione $f(x) = - log(7/4)$ e determinare gli estremi relativi e assoluti;
3- Data la funzione:
$f(x) = arctan (x^2/|x-1|)$
individuare il numero di soluzioni dell'equazione $f(x) = k$ al variare del parametro $k in RR$
4- Data la funzione:
$f(x) = 1/sqrt(log_(1/3)|x-2|$
determinare l'insieme di definizione e la $f^-1 (-oo;1]$
Per l'ultimo esercizio, chiaramente per calcolare il dominio basta porre il denominatore >0 e continuare con i calcoli. Il problema sorge nel calcolare la funzione inversa nell'intervallo scelto.
Ringrazio in anticipo quanti mi aiuteranno
1- Data la funzione:
$f(x) = (1+x) log(x/(1+x))-log|x|$
dire per quali $a in RR$ la funzione $f(x) = a$ ammette un'unica soluzione;
2- Data la funzione:
$f(x) = |x+4| - log(1-3/x)$
dire quante soluzioni ammette l'equazione $f(x) = - log(7/4)$ e determinare gli estremi relativi e assoluti;
3- Data la funzione:
$f(x) = arctan (x^2/|x-1|)$
individuare il numero di soluzioni dell'equazione $f(x) = k$ al variare del parametro $k in RR$
4- Data la funzione:
$f(x) = 1/sqrt(log_(1/3)|x-2|$
determinare l'insieme di definizione e la $f^-1 (-oo;1]$
Per l'ultimo esercizio, chiaramente per calcolare il dominio basta porre il denominatore >0 e continuare con i calcoli. Il problema sorge nel calcolare la funzione inversa nell'intervallo scelto.
Ringrazio in anticipo quanti mi aiuteranno
Risposte
ciao Lubus!!!
Gli studi di funzione che proponi sono MOLTO difficili. Niente di impossibile, ma ci va molto tempo a farli.
Copmincia magari tu, impostali e vediamo se ci sono dei punti difficili dove sbagli
Tutti hanno al loro interno lo scoglio del valore assoluto che supererai facendo così in tutti i casi
$|f(x)|=f(x)$ se $f(x)>=0$
$|f(x)|=-f(x)$ se $f(x)<0$
quello che richiedono i primi tre problemi è di fare lo studio di funzione, arrivare alla fine col grafico poi tirare una riga orizzontale e vedere
caso 1) dove interseca la curva in un solo punto
caso 2) tirarla in corrisponenza di $-log(7/4)$ e vedere dove interseca la curva
caso 3) in quanti punti interseca la curva
caso 4) se lo interpreto bene non devi trovare la funzione inversa bensi la CONTROIMMAGINE cioè gli intervalli della $x$ in cui la funzione assume quei valori
ciao!
Gli studi di funzione che proponi sono MOLTO difficili. Niente di impossibile, ma ci va molto tempo a farli.
Copmincia magari tu, impostali e vediamo se ci sono dei punti difficili dove sbagli
Tutti hanno al loro interno lo scoglio del valore assoluto che supererai facendo così in tutti i casi
$|f(x)|=f(x)$ se $f(x)>=0$
$|f(x)|=-f(x)$ se $f(x)<0$
quello che richiedono i primi tre problemi è di fare lo studio di funzione, arrivare alla fine col grafico poi tirare una riga orizzontale e vedere
caso 1) dove interseca la curva in un solo punto
caso 2) tirarla in corrisponenza di $-log(7/4)$ e vedere dove interseca la curva
caso 3) in quanti punti interseca la curva
caso 4) se lo interpreto bene non devi trovare la funzione inversa bensi la CONTROIMMAGINE cioè gli intervalli della $x$ in cui la funzione assume quei valori
ciao!
Ok grazie mille per il supporto! Dunque ho completato lo studio di funzione ed ho disegnato il grafico. Quindi, nel 1° caso devo individuare un punto sull'asse della y (immagino sia positiva che negativa), da cui tracciare una linea orizzontale e intersecare la curva della funzione in un solo punto.
Nel 2° caso, invece, posso scegliere un arbitrario valore positivo, quindi 2,4,6,ecc... e vedere in quanto punti va ad intersecare la curva. Ma mi sorge un dubbio: quel "al variare del parametro k" significa che devo tirarne più di una di linea orizzontale in corrispondenza di vari punti?
Per il caso 4, ho provato ma non riesco proprio. Purtroppo come dicevo, con la mia docente precedente non avevo mai fatto questo tipo di esercizi e non saprei nemmeno da dove cominciare. Ti sarei grato se mi dicessi almeno come iniziare.
Grazie ancora di avermi aiutato!
Nel 2° caso, invece, posso scegliere un arbitrario valore positivo, quindi 2,4,6,ecc... e vedere in quanto punti va ad intersecare la curva. Ma mi sorge un dubbio: quel "al variare del parametro k" significa che devo tirarne più di una di linea orizzontale in corrispondenza di vari punti?
Per il caso 4, ho provato ma non riesco proprio. Purtroppo come dicevo, con la mia docente precedente non avevo mai fatto questo tipo di esercizi e non saprei nemmeno da dove cominciare. Ti sarei grato se mi dicessi almeno come iniziare.
Grazie ancora di avermi aiutato!
proviamo a fare il 3)
anzitutto la spezziamo
$y=arctg(x^2/|x-1|) = arctg(x^2/(x-1))$ se $x>1$
$y=arctg(x^2/|x-1|) = arctg(x^2/(1-x))$ se $x<1$
campo di esistenza: $RR$ tranne il punto $x=1$
limiti
$lim_(x->+infty) y = pi/2$
$lim_(x->-infty) y = pi/2$
$lim_(x->1^-) y = pi/2$
$lim_(x->1^+) y = pi/2$
da qui si ricava anche che la funzione è continua in $x=1$
derivata (ahia...)
$y' = (x^2-2x)/(x^4+x^2-2x+1)$ se $x>1$
$y'= (2x-x^2)/(x^4+x^2-2x+1)$ se $x<1$
da qui si ricava che i limiti destro e sinistro della derivata in $x=1$ sono diversi... in tal punto la funzione non è derivabile, ha un punto angoloso
la derivata si annulla in $x=0$ e in $x=2$
(dovrebbero essere due minimi ma faccio il furbo perchè trasso guardando i programmi che visualizzano i grafici)
inoltre hai $y(0)=0$ e $y(2)=arctg 4 = 1.32$
la derivata seconda la farai tu
facendo il grafico, ti invito a disegnarlo, noti che se tiri una retta orizzontale qualunque ($y=k$) hai che
1) per $k<0$ non interseca la funzione quindi ci sono zero soluzioni
2) per $0
spero di aver visto giusto, lo studio è complicatino e potrei aver fatto errori
ciao!
anzitutto la spezziamo
$y=arctg(x^2/|x-1|) = arctg(x^2/(x-1))$ se $x>1$
$y=arctg(x^2/|x-1|) = arctg(x^2/(1-x))$ se $x<1$
campo di esistenza: $RR$ tranne il punto $x=1$
limiti
$lim_(x->+infty) y = pi/2$
$lim_(x->-infty) y = pi/2$
$lim_(x->1^-) y = pi/2$
$lim_(x->1^+) y = pi/2$
da qui si ricava anche che la funzione è continua in $x=1$
derivata (ahia...)
$y' = (x^2-2x)/(x^4+x^2-2x+1)$ se $x>1$
$y'= (2x-x^2)/(x^4+x^2-2x+1)$ se $x<1$
da qui si ricava che i limiti destro e sinistro della derivata in $x=1$ sono diversi... in tal punto la funzione non è derivabile, ha un punto angoloso
la derivata si annulla in $x=0$ e in $x=2$
(dovrebbero essere due minimi ma faccio il furbo perchè trasso guardando i programmi che visualizzano i grafici)
inoltre hai $y(0)=0$ e $y(2)=arctg 4 = 1.32$
la derivata seconda la farai tu
facendo il grafico, ti invito a disegnarlo, noti che se tiri una retta orizzontale qualunque ($y=k$) hai che
1) per $k<0$ non interseca la funzione quindi ci sono zero soluzioni
2) per $0
spero di aver visto giusto, lo studio è complicatino e potrei aver fatto errori
ciao!
Per quanto riguarda esercizio 4)
$y=1/sqrt(log_(1/3) |x-2|)$
campo di esistenza
$log_(1/3) |x-2| >0$
$0<|x-2|<1$
$1
questo è il campo di esistenza. Attento che hai un valore assoluto, la funzione si divide come prima in due parti e il punto di divisione è $x=2$
limiti
$lim_(x->1^+) y = +infty$
$lim_(x->3^-) y = +infty$
$lim_(x->2^+) y = 0$
$lim_(x->2^-) y = 0$
quello che ora ti chiede il compito è la CONTROIMMAGINE della funzione nell'intervallo (che si riferisce all'asse Y) ($-infty,1$] ... prova a fare il grafico... devi vedere per quali valori della $x$ tu hai $-infty
$1/sqrt(log_(1/3) |x-2|)=1$
$log_(1/3) |x-2|=1$
$|x-2|=1/3$
$x_1=7/3$
$x_2=5/3$
quindi la risposta è
$f^(-1) (-infty,1] = [5/3,7/3]$
ciao!
$y=1/sqrt(log_(1/3) |x-2|)$
campo di esistenza
$log_(1/3) |x-2| >0$
$0<|x-2|<1$
$1
questo è il campo di esistenza. Attento che hai un valore assoluto, la funzione si divide come prima in due parti e il punto di divisione è $x=2$
limiti
$lim_(x->1^+) y = +infty$
$lim_(x->3^-) y = +infty$
$lim_(x->2^+) y = 0$
$lim_(x->2^-) y = 0$
quello che ora ti chiede il compito è la CONTROIMMAGINE della funzione nell'intervallo (che si riferisce all'asse Y) ($-infty,1$] ... prova a fare il grafico... devi vedere per quali valori della $x$ tu hai $-infty
$1/sqrt(log_(1/3) |x-2|)=1$
$log_(1/3) |x-2|=1$
$|x-2|=1/3$
$x_1=7/3$
$x_2=5/3$
quindi la risposta è
$f^(-1) (-infty,1] = [5/3,7/3]$
ciao!
Wow Grazie! Non poevo chiedere di meglio!
Adesso posso dire di aver capito!
Adesso posso dire di aver capito!
Riesumo il topic per avere un ulteriore chiarimento...
Presa la funzione $ f(x) = (log^2 (x) -1 )^-(sqrt2) $
per calcolarne l'insieme $ f^-1 ([1,+oo) $
ho posto $ f(x) = (log^2 (x) -1)^-(sqrt2) = 1 $
In questo modo ho trovato una soluzione x=1/4.
A questo punto ho pensato che l'intervallo sia $ [1/4 , +oo) $ ma c'è qualcosa che mi dice che sto sbagliandomi.
Grazie in anticipo
P.S. il logaritmo è in base 1/2
Presa la funzione $ f(x) = (log^2 (x) -1 )^-(sqrt2) $
per calcolarne l'insieme $ f^-1 ([1,+oo) $
ho posto $ f(x) = (log^2 (x) -1)^-(sqrt2) = 1 $
In questo modo ho trovato una soluzione x=1/4.
A questo punto ho pensato che l'intervallo sia $ [1/4 , +oo) $ ma c'è qualcosa che mi dice che sto sbagliandomi.
Grazie in anticipo
P.S. il logaritmo è in base 1/2
ciao
per la controimmagine devi vedere per quali valori della $x$ la tua $y$ è maggiore di $1$
attenzione che hai una funzione elevata a un numero irrazionale!!! il dominio lo valuti imponendo che la BASE sia positiva
$(log_(1/2) x)^2 -1 >0$
$log_(1/2) x <-1$ vel $log_(1/2) x >1$
$x>2$ vel $x<1/2$
spero di non aver commesso errori... tenendo conto del fatto che l'argomento del logaritmo deve comunque ssempre essere positivo indipendentemente dalla base ne ricaviamo che il DOMINIO è
$02$
Per la controimmagine hai fatto bene a vedere per quali valori della $x$ la tua $y$ vale $1$ ma mi sa che hai sbagliato i conti... è una potenza... la potenza vale $1$ se la base vale $1$... perchè $1$ elevato qualunque numero fa sempre $1$
$((log_(1/2) x)^2 - 1)^(-sqrt2) = 1/((log_(1/2) x)^2 - 1)^(sqrt2)=1$
$(log_(1/2) x)^2 -1 =1$
$(log_(1/2) x)^2 -2=0$
$log_(1/2) x = +- sqrt2$
$x=(1/2)^(+-sqrt2)$
Il risultato finale (la tua funzione deve essere maggiore di $1$) dovrebbe essere quindi che la controimmagine è
$((1/2)^sqrt2, 1/2)U((1/2)^(-sqrt2),2)$
spero di non aver commesso errori e di essere stato chiaro ciao
per la controimmagine devi vedere per quali valori della $x$ la tua $y$ è maggiore di $1$
attenzione che hai una funzione elevata a un numero irrazionale!!! il dominio lo valuti imponendo che la BASE sia positiva
$(log_(1/2) x)^2 -1 >0$
$log_(1/2) x <-1$ vel $log_(1/2) x >1$
$x>2$ vel $x<1/2$
spero di non aver commesso errori... tenendo conto del fatto che l'argomento del logaritmo deve comunque ssempre essere positivo indipendentemente dalla base ne ricaviamo che il DOMINIO è
$0
Per la controimmagine hai fatto bene a vedere per quali valori della $x$ la tua $y$ vale $1$ ma mi sa che hai sbagliato i conti... è una potenza... la potenza vale $1$ se la base vale $1$... perchè $1$ elevato qualunque numero fa sempre $1$
$((log_(1/2) x)^2 - 1)^(-sqrt2) = 1/((log_(1/2) x)^2 - 1)^(sqrt2)=1$
$(log_(1/2) x)^2 -1 =1$
$(log_(1/2) x)^2 -2=0$
$log_(1/2) x = +- sqrt2$
$x=(1/2)^(+-sqrt2)$
Il risultato finale (la tua funzione deve essere maggiore di $1$) dovrebbe essere quindi che la controimmagine è
$((1/2)^sqrt2, 1/2)U((1/2)^(-sqrt2),2)$
spero di non aver commesso errori e di essere stato chiaro ciao
Grazie mille!
Volevo però chiederti una cosa: perchè gli intervalli sono diversi tra l'esercizio del post #5 e del post #8?
Voglio dire, perchè nel post #5 l'intervallo è contenuto tra le due soluzioni trovate mentre nel post #8 hai abbinato un valore del dominio ad una soluzione trovata?
Non so se sono stato chiaro...
Volevo però chiederti una cosa: perchè gli intervalli sono diversi tra l'esercizio del post #5 e del post #8?
Voglio dire, perchè nel post #5 l'intervallo è contenuto tra le due soluzioni trovate mentre nel post #8 hai abbinato un valore del dominio ad una soluzione trovata?
Non so se sono stato chiaro...
Si penso di aver capito
La con troimmagine e un intervallo dell asse x... nel secondo caso ho dovuto troncarlo in due perche se leggi bene la parte troncata non appartiene al dominio
La con troimmagine e un intervallo dell asse x... nel secondo caso ho dovuto troncarlo in due perche se leggi bene la parte troncata non appartiene al dominio
Ok capito...grazie mille!
Ciao mazzarri, approfitto di questa discussione per non aprirne una nuova. Mi ritrovo con un esercizio simile a quello di Lubus solo che devo calcolare l'insieme $f^(-1) [0; +oo)$
A questo punto, dopo aver calcolato il dominio, pongo semplicemente la mia equazione di partenza uguale a 0, giusto? E nel caso di $f^(-1) (-oo ; 0]$ ?
Volevo poi chiederti, all'atto pratico, se dovessi schematizzare il modo in cui operare per determinare l'insieme di $f^(-1) [1; +oo)$ e $f^(-1) (-oo ; 1]$ ? Considero sempre l'intervallo interno alle due soluzioni tenendo conto del dominio?
Spero che le mie domande siano state sufficientemente chiare...
Grazie in anticipo
A questo punto, dopo aver calcolato il dominio, pongo semplicemente la mia equazione di partenza uguale a 0, giusto? E nel caso di $f^(-1) (-oo ; 0]$ ?
Volevo poi chiederti, all'atto pratico, se dovessi schematizzare il modo in cui operare per determinare l'insieme di $f^(-1) [1; +oo)$ e $f^(-1) (-oo ; 1]$ ? Considero sempre l'intervallo interno alle due soluzioni tenendo conto del dominio?
Spero che le mie domande siano state sufficientemente chiare...
Grazie in anticipo
Ciao ti aiuterei in tutti e quattro adesso ma è tardi 
4) $f(x)=1/(sqrt(log_(1/2)|x-2|)$
l'insieme di definizione sono date da ovviamente dalla radice e dal logaritmo. Intanto per comodità me lo riscrivo in $b=2$
opero direttamente con l'uguaglianza stretta del logaritmo maggiore di zero.
Infine l'argomento del logaritmo positivo e non nullo. Quindi basta prendere $xne2$
$-log_(2)|x-2|>0 => log_(2)|x-2|<0 =>$
$|x-2|<1 => -1 $
$1
(metto et e non vel, perché vale in entrambi e non in uno o l'altro(o al limite entrambi) buono questo sarà il dominio.
ora dobbiamo trovare la fibra(immagine inversa, controimmagine) al variare di y.
In teoria ci sarebbero più modi per risolvere questo problema.
$y^2=1/(log_(1/2)|x-2|)$ intanto se scelgo y=0 l'equazione $1/(log_(1/2)|x-2|)=0$ mai.
$sqrt(log_(1/2)|x-2|)=1/y$ da un lato abbiamo una quantità che può essere positiva e mai nulla, quindi dobbiamo felicemente prendere $y>0$
quindi me la riscrivo come $log_(1/2)|x-2|=y^(-2) => log_(1/2)|x-2|=log_(1/2)(1/2)^(y^(-2))$
$|x-2|=(1/2)^(y^(-2))$ esplicitiamo il modulo
$x=2+(1/2)^(y^(-2))$ se $2
sono entrambe verificate $forallyin]0,+infty[$ quindi già cercare valutare la fibra per $y<0$ non ha senso perché troviamo patate. Cioè troveremo certamente 'qualcosa, ma a noi non serve. Perché se prendo $y=-1$ ottengo $x=5/2 e x=3/2$ che appartengono al dominio, ma questo è fuorviante perché se prendiamo l'equazione di partenza e sostituiamo quei due valori non troveremo mai $y=-1$ poiché essendoci da un lato una quantità sempre positiva(la radice) non potrà mai venire $-1$(o almeno in $R$, su $C$ si). Quindi possiamo valutare $yin]0,1]$
come hanno già detto sopra i limiti in un intorno di $0$ danno come risultato $0$ quindi la per $y->0$, $x->0$ l'uno implica l'altro.
ora dobbiamo valutare $y=1$ ma sopratutto dobbiamo vedere quando $y<1$
per y=1 possiamo usare la funzione inversa e trovare $x=2+(1/2)^(-1^(-2))=2+1/2=5/2$ per $1
verifichiamo quando $y<1$ per vedere comunque quale intervallo vi corrisponde a $y<1$
$1/(sqrt(log_(1/2)|x-2|))<1$ passiamo ai reciproci $log_(1/2)|x-2|>1 => |x-2|<1/2 => 2-1/2 3/2
quindi $forallx in[3/2,2[cup]2,5/2], y in]0,1]$
Ah inoltre un'ultima cosa.
Puoi verificare che $lim_(x->2^-)f(x)=lim_(x->2^+)f(x)=0$ questo indica che è discontinuità del terzo tipo(eliminabile) e appunto possiamo prolungare dominio e codominio anche a $0$ per continuità, ponendo $f(2)=0$ così l'intervallo considerato potrà essere
$forallx in]3/2,5/2[, y in[0,1]$ quindi per dare una risposta schietta al problema :
$f^-1(]-infty,1]) => f^-1(]-infty,0[cup[0,1]) => f^-1(]-infty,0[)cupf^-1([0,1])$
ricorda che la inversa mantiene le unioni
$emptysetcup[3/2,5/2]=[3/2,5/2]$ fine
ti aiuterei in tutti e quattro adesso ma è tardi 4) $f(x)=1/(sqrt(log_(1/2)|x-2|)$
l'insieme di definizione sono date da ovviamente dalla radice e dal logaritmo. Intanto per comodità me lo riscrivo in $b=2$
opero direttamente con l'uguaglianza stretta del logaritmo maggiore di zero.
Infine l'argomento del logaritmo positivo e non nullo. Quindi basta prendere $xne2$
$-log_(2)|x-2|>0 => log_(2)|x-2|<0 =>$
$|x-2|<1 => -1
$1
(metto et e non vel, perché vale in entrambi e non in uno o l'altro(o al limite entrambi) buono questo sarà il dominio.
ora dobbiamo trovare la fibra(immagine inversa, controimmagine) al variare di y.
In teoria ci sarebbero più modi per risolvere questo problema.
$y^2=1/(log_(1/2)|x-2|)$ intanto se scelgo y=0 l'equazione $1/(log_(1/2)|x-2|)=0$ mai.
$sqrt(log_(1/2)|x-2|)=1/y$ da un lato abbiamo una quantità che può essere positiva e mai nulla, quindi dobbiamo felicemente prendere $y>0$
quindi me la riscrivo come $log_(1/2)|x-2|=y^(-2) => log_(1/2)|x-2|=log_(1/2)(1/2)^(y^(-2))$
$|x-2|=(1/2)^(y^(-2))$ esplicitiamo il modulo
$x=2+(1/2)^(y^(-2))$ se $2
sono entrambe verificate $forallyin]0,+infty[$ quindi già cercare valutare la fibra per $y<0$ non ha senso perché troviamo patate. Cioè troveremo certamente 'qualcosa, ma a noi non serve. Perché se prendo $y=-1$ ottengo $x=5/2 e x=3/2$ che appartengono al dominio, ma questo è fuorviante perché se prendiamo l'equazione di partenza e sostituiamo quei due valori non troveremo mai $y=-1$ poiché essendoci da un lato una quantità sempre positiva(la radice) non potrà mai venire $-1$(o almeno in $R$, su $C$ si). Quindi possiamo valutare $yin]0,1]$
come hanno già detto sopra i limiti in un intorno di $0$ danno come risultato $0$ quindi la per $y->0$, $x->0$ l'uno implica l'altro.
ora dobbiamo valutare $y=1$ ma sopratutto dobbiamo vedere quando $y<1$
per y=1 possiamo usare la funzione inversa e trovare $x=2+(1/2)^(-1^(-2))=2+1/2=5/2$ per $1
verifichiamo quando $y<1$ per vedere comunque quale intervallo vi corrisponde a $y<1$
$1/(sqrt(log_(1/2)|x-2|))<1$ passiamo ai reciproci $log_(1/2)|x-2|>1 => |x-2|<1/2 => 2-1/2
quindi $forallx in[3/2,2[cup]2,5/2], y in]0,1]$
Ah inoltre un'ultima cosa.
Puoi verificare che $lim_(x->2^-)f(x)=lim_(x->2^+)f(x)=0$ questo indica che è discontinuità del terzo tipo(eliminabile) e appunto possiamo prolungare dominio e codominio anche a $0$ per continuità, ponendo $f(2)=0$ così l'intervallo considerato potrà essere
$forallx in]3/2,5/2[, y in[0,1]$ quindi per dare una risposta schietta al problema :
$f^-1(]-infty,1]) => f^-1(]-infty,0[cup[0,1]) => f^-1(]-infty,0[)cupf^-1([0,1])$
ricorda che la inversa mantiene le unioni
$emptysetcup[3/2,5/2]=[3/2,5/2]$ fine
Ciao, ti ringrazio! Risposta davvero esaustiva...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo