Studio di funzione
ciao ragazzi!! problema:
$f(x)=(x logx)/(1+log^2(x))$
$ { ( f(1)=0 ),( lim_(x->0)=0 ):} \Rightarrow $(teorema di rolle((circa))$ EE c|f(c)'=0 $
cerchiamolo:
derivata $f(x)'= (log^3(x)-log^2(x)+log(x)+1)/(log^4(x)+2log^2(x)+1) rArr f(x)'!=0AA x$
ragazzi non capisco ho controllato i calcoli al computer e sono giusti, eppure i conti non tornano...
help!!!
$f(x)=(x logx)/(1+log^2(x))$
$ { ( f(1)=0 ),( lim_(x->0)=0 ):} \Rightarrow $(teorema di rolle((circa))$ EE c|f(c)'=0 $
cerchiamolo:
derivata $f(x)'= (log^3(x)-log^2(x)+log(x)+1)/(log^4(x)+2log^2(x)+1) rArr f(x)'!=0AA x$
ragazzi non capisco ho controllato i calcoli al computer e sono giusti, eppure i conti non tornano...
help!!!
Risposte
Verifica bene cosa dice esattamente il teorema di Rolle ..
"Camillo":
Verifica bene cosa dice esattamente il teorema di Rolle ..
ho scritto circa, dovrebbe essere $f(0)= 0 e f(1)=0$, però dato che in un intorno di 0 vale 0, il teorema di rolle dovrebbe valere lo stesso, o sbaglio?
per il resto la funzione è continua nell'intervallo considerato, (e in più ho plottato il grafico, dovrebbe esserci un punto di minimo tra 0 e 1), bho
help please
"zerbo1000":
derivata $f(x)'= (log^3(x)-log^2(x)+log(x)+1)/(log^4(x)+2log^2(x)+1) rArr f(x)'!=0AA x$
Come fai a dire che la derivata non si annulla mai?
Se consideri solo il numeratore, esso è positivo per $x=1$ (vale $1$), mentre tende a $-oo$ per $x->0^+$
capito, però allora proprio non capisco come studiare il segno di questa derivata
l'unica strada mi pare che sia quella dei metodi iterativi (soluzioni approssimate), isolando prima tutto quello che è possibile:
il denominatore è banalmente sempre positivo, quando è definito;
considera il numeratore come una nuova funzione $g(x)=log^3(x)-log^2(x)+log(x)+1$
risulta $g'(x)=[3 log^2(x)-2 log(x)+1]*1/x$ , che è sempre positiva in $(0;1)$ , per cui nello stesso intervallo $g(x)$ è strettamente crescente.
risulta quindi $g(x)>=0 " per " x>= xi," dove "xi in (0;1)$ da determinare in maniera approssimata con un metodo iterativo.
ci sei?
il denominatore è banalmente sempre positivo, quando è definito;
considera il numeratore come una nuova funzione $g(x)=log^3(x)-log^2(x)+log(x)+1$
risulta $g'(x)=[3 log^2(x)-2 log(x)+1]*1/x$ , che è sempre positiva in $(0;1)$ , per cui nello stesso intervallo $g(x)$ è strettamente crescente.
risulta quindi $g(x)>=0 " per " x>= xi," dove "xi in (0;1)$ da determinare in maniera approssimata con un metodo iterativo.
ci sei?
"adaBTTLS":
l'unica strada mi pare che sia quella dei metodi iterativi (soluzioni approssimate), isolando prima tutto quello che è possibile:
il denominatore è banalmente sempre positivo, quando è definito;
considera il numeratore come una nuova funzione $g(x)=log^3(x)-log^2(x)+log(x)+1$
risulta $g'(x)=[3 log^2(x)-2 log(x)+1]*1/x$ , che è sempre positiva in $(0;1)$ , per cui nello stesso intervallo $g(x)$ è strettamente crescente.
risulta quindi $g(x)>=0 " per " x>= xi," dove "xi in (0;1)$ da determinare in maniera approssimata con un metodo iterativo.
ci sei?
no
ti basta una soluzione approssimata?
ricorda questo:
Come fai a dire che la derivata non si annulla mai?
Se consideri solo il numeratore, esso è positivo per $x=1$ (vale $1$), mentre tende a $-oo$ per $x->0^+$[/quote]
riprendo qualche frase dall'ultimo messaggio:
il denominatore è banalmente sempre positivo, quando è definito;
considera il numeratore come una nuova funzione $g(x)=log^3(x)-log^2(x)+log(x)+1$
per il teorema di esistenza degli zeri, $EE xi in (0;1) " | "g(xi)=0$
risulta $g'(x)=[3 log^2(x)-2 log(x)+1]*1/x$ , che è sempre positiva in $(0;1)$ , per cui nello stesso intervallo $g(x)$ è strettamente crescente.
Dunque il punto $xi$ assicurato dal teorema di esistenza degli zeri è unico (ricorda che stai considerando l'intervallo $(0;1)$.
la funzione $g(x)$ è negativa tra $0$ e $xi$, positiva tra $xi$ ed $1$.
cosa ti manca per poter proseguire?
ricorda questo:
"adaBTTLS":
[quote="zerbo1000"]
derivata $f(x)'= (log^3(x)-log^2(x)+log(x)+1)/(log^4(x)+2log^2(x)+1) rArr f(x)'!=0AA x$
Come fai a dire che la derivata non si annulla mai?
Se consideri solo il numeratore, esso è positivo per $x=1$ (vale $1$), mentre tende a $-oo$ per $x->0^+$[/quote]
riprendo qualche frase dall'ultimo messaggio:
il denominatore è banalmente sempre positivo, quando è definito;
considera il numeratore come una nuova funzione $g(x)=log^3(x)-log^2(x)+log(x)+1$
per il teorema di esistenza degli zeri, $EE xi in (0;1) " | "g(xi)=0$
risulta $g'(x)=[3 log^2(x)-2 log(x)+1]*1/x$ , che è sempre positiva in $(0;1)$ , per cui nello stesso intervallo $g(x)$ è strettamente crescente.
Dunque il punto $xi$ assicurato dal teorema di esistenza degli zeri è unico (ricorda che stai considerando l'intervallo $(0;1)$.
la funzione $g(x)$ è negativa tra $0$ e $xi$, positiva tra $xi$ ed $1$.
cosa ti manca per poter proseguire?
scusa ma non hai detto tu stessa che g(x) è sempre cresciente in(0,1) ?
come fa ad esserci l'epsilon da te descritto?
come fa ad esserci l'epsilon da te descritto?
appunto perché è crescente (il fatto che sia "strettamente monotòna" ne assicura l'unicità), nonché naturalmente continua, se "parte da $-oo$ e va a finire a $1$", assume tutti i valori minori di 1, compreso lo zero, e li assume ciascuno una sola volta in (0,1).
cioè mi stai dicendo che non posso trovare quel punto, ma che posso solo sapere che è compreso tra 0 e 1 ?
ho solo risposto all'ultima domanda, per convincerti che esiste.
non copiato le ultime righe del messaggio precedente, per ribadire che si può trovare solo in maniera approssimata.
non copiato le ultime righe del messaggio precedente, per ribadire che si può trovare solo in maniera approssimata.
"adaBTTLS":
ho solo risposto all'ultima domanda, per convincerti che esiste.
non copiato le ultime righe del messaggio precedente, per ribadire che si può trovare solo in maniera approssimata.
si ma io ero già convinto che esistesse,
ma se lo dovessi trovare quali modi approssimativi avrei?
ne esistono diversi, quello più semplice è il metodo di bisezione, o varianti ... si tratta di restringere l'intervallo fino all'ordine di grandezza desiderato per l'approssimazione, ... $(a,b)$ deve contenere la "soluzione $xi$", pertanto deve essere $g(a)<0, g(b)>0$...
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