Studio di funzione
Salve a tutti, questa funzione mi ha dato sin da subito problemi, dato che ho avuto dei dubbi sul dominio, e successivamente ho avuto altre varie incertezze che vi elencherò via via. Spero che qualcuno possa aiutarmi.
$f(x)=x(x-1)^(2/3)$
Molto poco saggiamente (a quanto pare dato che wolfram mi da ogni $x>=1$) ho scritto subito che il dominio di questa funzione è tutto $RR$ dato che l'indice della radice dispari non pone limitazioni riguardanti il segno del suo contenuto, che peraltro è una quantità al quadrato. Primo dubbio.
-STUDIO DEL SEGNO
$x>0$
$(x-1)^(2/3)>0$ $->$ ogni x diversa da 1 dato che la quantità sotto la radice, essendo al quadrato, è positiva sempre, tranne quando vale 1.
Prima dello zero siamo sotto alle ascisse, dopo stiamo sempre sopra tranne a 1.
-INTERSEZIONE ASSI
Per $x=0 , y=0$
Per $y=0 , x=1$
-LIMITI
Qui ancora dubbi:
$lim_(x->-oo)x(x-1)^(2/3)$
Applicando de L'Hopital
$lim_(x->-oo)((x-1)^(2/3))/(1/x)$
$lim_(x->-oo)(-2x^2)/(3(root(3)(x-1))$
$lim_(x->-oo)((-2x^2)/(x^2))/(3(root(3)((1/x^5)-(1/x^6)))$
$lim_(x->-oo)(-2)/(3(root(3)(0))$$=-oo$
Date queste considerazioni anche per $x->+oo$ dovrebbe fare $-oo$ ma ciò stride con quanto ho calcolato dallo studio del segno.
-DERIVATA PRIMA
$y'=(5x-3)/(3(root(3)(x-1))$
Il cui campo di esistenza dovrebbe essere ogni x diversa da 1, quindi dovremmo avere in questo punto un qualche punto angoloso o a tangente verticale:
$lim_(x->1^-)(5x-3)/(3(root(3)(x-1))$ $=2/0^-$ $=-oo$
$lim_(x->1^+)(5x-3)/(3(root(3)(x-1))$ $=2/0^+$ $=+oo$
Dovremmo quindi avere una cuspide rivolta verso il basso.
Inoltre trovo un massimo di coordinate $((3/5),(0,3))$
Ringrazio anticipatamente tutti.
$f(x)=x(x-1)^(2/3)$
Molto poco saggiamente (a quanto pare dato che wolfram mi da ogni $x>=1$) ho scritto subito che il dominio di questa funzione è tutto $RR$ dato che l'indice della radice dispari non pone limitazioni riguardanti il segno del suo contenuto, che peraltro è una quantità al quadrato. Primo dubbio.
-STUDIO DEL SEGNO
$x>0$
$(x-1)^(2/3)>0$ $->$ ogni x diversa da 1 dato che la quantità sotto la radice, essendo al quadrato, è positiva sempre, tranne quando vale 1.
Prima dello zero siamo sotto alle ascisse, dopo stiamo sempre sopra tranne a 1.
-INTERSEZIONE ASSI
Per $x=0 , y=0$
Per $y=0 , x=1$
-LIMITI
Qui ancora dubbi:
$lim_(x->-oo)x(x-1)^(2/3)$
Applicando de L'Hopital
$lim_(x->-oo)((x-1)^(2/3))/(1/x)$
$lim_(x->-oo)(-2x^2)/(3(root(3)(x-1))$
$lim_(x->-oo)((-2x^2)/(x^2))/(3(root(3)((1/x^5)-(1/x^6)))$
$lim_(x->-oo)(-2)/(3(root(3)(0))$$=-oo$
Date queste considerazioni anche per $x->+oo$ dovrebbe fare $-oo$ ma ciò stride con quanto ho calcolato dallo studio del segno.
-DERIVATA PRIMA
$y'=(5x-3)/(3(root(3)(x-1))$
Il cui campo di esistenza dovrebbe essere ogni x diversa da 1, quindi dovremmo avere in questo punto un qualche punto angoloso o a tangente verticale:
$lim_(x->1^-)(5x-3)/(3(root(3)(x-1))$ $=2/0^-$ $=-oo$
$lim_(x->1^+)(5x-3)/(3(root(3)(x-1))$ $=2/0^+$ $=+oo$
Dovremmo quindi avere una cuspide rivolta verso il basso.
Inoltre trovo un massimo di coordinate $((3/5),(0,3))$
Ringrazio anticipatamente tutti.
Risposte
Prime osservazioni:
dominio ok. Tutto R
segno ok, minore di zero per $x<0$
I limiti non sono indeterminati. per $x->-oo=-oo$; per $x->+oo=+oo$
dato il valore della funzione a $oo$ dovresti controllare l'eventuale presenza di asintoti obliqui
dominio ok. Tutto R
segno ok, minore di zero per $x<0$
I limiti non sono indeterminati. per $x->-oo=-oo$; per $x->+oo=+oo$
dato il valore della funzione a $oo$ dovresti controllare l'eventuale presenza di asintoti obliqui
Già, grazie! Pensavo che $oo/0$ fosse una forma indeterminata.
Come capisco quando devo controllare gli asintoti obliqui? Bisogna farlo ogni volta?
Come capisco quando devo controllare gli asintoti obliqui? Bisogna farlo ogni volta?
"piergiorgiof":
Già, grazie! Pensavo che $oo/0$ fosse una forma indeterminata.
Come capisco quando devo controllare gli asintoti obliqui? Bisogna farlo ogni volta?
la forma $oo/0$ te la sei inventata....inizialmente e' $(-oo) ( oo)$ e $(oo)( oo)$
il controllo asintoti obliqui va fatto sempre, ogni volta che la funzione tende a $oo$
quando la scrivo così non diventa una forma $oo/0$?
$lim_(x->-oo)((x-1)^(2/3))/(1/x)$
$lim_(x->-oo)((x-1)^(2/3))/(1/x)$
Comunque, giusto per la cronaca, ho scoperto che wolfram mi dava dei risultati diversi perchè andava cliccato "use the real valued root", non so cosa voglia dire ma ora che ci ho cliccato tutti i conti tornano e pure il grafico.
Interpretava quanto scritto come "principal root"
Interpretava quanto scritto come "principal root"
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