Studio di Funzione
\(\displaystyle \)Salve,
Sto cercando di fare lo studio di una funzione (la sottostante)
Non riesco però a calcolare la derivata prima della funzione...
Potreste aiutarmi
Grazie in anticipo
Olga
f(x)=
e^(x-1) +2 Con x<2
$ (1-x)/(2x ) $ Con x>= 2
P.s mi dispiace ma non sono ancora molto brava ad usare i simboli di LaTex
Sto cercando di fare lo studio di una funzione (la sottostante)
Non riesco però a calcolare la derivata prima della funzione...
Potreste aiutarmi
Grazie in anticipo
Olga
f(x)=
e^(x-1) +2 Con x<2
$ (1-x)/(2x ) $ Con x>= 2
P.s mi dispiace ma non sono ancora molto brava ad usare i simboli di LaTex
Risposte
Prima di derivare, bisogna verificare che la funzione $f(x) = { ( e^(x-1)+2 ),( (1-x)/(2x) ):}$ (con la prima espressione valida per $x<2$ e la seconda valida per $x>=2$) sia continua.
Essa lo è certamente in $(-\infty, 2)$ ed in $(2, +\infty)$; per verificare che lo sia anche nel punto $x = 2$, occorre verificare che $lim_{x->2^+}f(x) = lim_{x->2^-}f(x)$. Si ha $lim_{x->2^+}f(x) = lim_{x->2^+}(1-x/2x) = -1/4$, e si ha anche $lim_{x->2^-}f(x) = lim_{x->2^-}(e^(x-1)+2) = e+2 != -1/4$. Ciò vuol dire che la funzione non è continua in tutto il suo dominio, bensì ha una discontinuità di prima specie in $x=2$.
Possiamo a questo punto calcolare la derivata prima della funzione per $x!=2$: nell'intervallo $(-\infty, 2)$, essa è $f'(x) = e^(x-1)$, mentre in $(2, +\infty)$ essa è $f'(x) = -1/(2x^2)$.
Essa lo è certamente in $(-\infty, 2)$ ed in $(2, +\infty)$; per verificare che lo sia anche nel punto $x = 2$, occorre verificare che $lim_{x->2^+}f(x) = lim_{x->2^-}f(x)$. Si ha $lim_{x->2^+}f(x) = lim_{x->2^+}(1-x/2x) = -1/4$, e si ha anche $lim_{x->2^-}f(x) = lim_{x->2^-}(e^(x-1)+2) = e+2 != -1/4$. Ciò vuol dire che la funzione non è continua in tutto il suo dominio, bensì ha una discontinuità di prima specie in $x=2$.
Possiamo a questo punto calcolare la derivata prima della funzione per $x!=2$: nell'intervallo $(-\infty, 2)$, essa è $f'(x) = e^(x-1)$, mentre in $(2, +\infty)$ essa è $f'(x) = -1/(2x^2)$.
"wrugg25":
Prima di derivare, bisogna verificare che la funzione $ f(x) = { ( e^(x-1)+2 ),( (1-x)/(2x) ):} $ (con la prima espressione valida per $ x<2 $ e la seconda valida per $ x>=2 $) sia continua.
Essa lo è certamente in $ (-\infty, 2) $ ed in $ (2, +\infty) $; per verificare che lo sia anche nel punto $ x = 2 $, occorre verificare che $ lim_{x->2^+}f(x) = lim_{x->2^-}f(x) $. Si ha $ lim_{x->2^+}f(x) = lim_{x->2^+}(1-x/2x) = -1/4 $, e si ha anche $ lim_{x->2^-}f(x) = lim_{x->2^-}(e^(x-1)+2) = e+2 != -1/4 $. Ciò vuol dire che la funzione non è continua in tutto il suo dominio, bensì ha una discontinuità di prima specie in $ x=2 $.
Possiamo a questo punto calcolare la derivata prima della funzione per $ x!=2 $: nell'intervallo $ (-\infty, 2) $, essa è $ f'(x) = e^(x-1) $, mentre in $ (2, +\infty) $ essa è $ f'(x) = -1/(2x^2) $.
Grazie mille....sei stato/a di grande aiuto
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