Studio di funzione

[dem1509]

Ciao...ho svolto lo studio della seguente funzione:
$f(x)=(xe^x)/(x-2)^(1/3)$
Potete dirmi se i miei risultati sono corretti?
dominio: x deve essere diverso da 2
limiti: per x tendente a $-infty$ si ha 0
per x tendente a $+infty$ si ha $+infty$
per x tendente a $2-$ si ha $-infty$
per x tendente a $2+$ si ha $+infty$

[axpgn]

Se l'esponente è frazionario (così come l'hai scritto) allora il dominio è solo $x>2$ mentre se è radice terza allora va bene come hai fatto.

Cordialmente, Alex

[dem1509]

Sì, è sotto radice. Per quanto riguarda i limiti sono giusti? Potreste scrivermi la procedura per quelli tendenti a + e - infinito?
Grazie mille!

[f.bisecco]

$lim_{x \to \+infty}(x*e^x)/(root(3)(x-2))=lim_{x \to \+infty}(x*e^x*root(3)((x-2)^2))/(root(3)(x-2)*root(3)((x-2)^2))=lim_{x \to \+infty}(x*e^x*root(3)((x-2)^2))/(x-2)=lim_{x \to \+infty}x/(x-2)*e^x*root(3)((x-2)^2)=+infty$

ricordando che $infty*infty$ non è forma indeterminata...

[f.bisecco]

$ lim_{x \to \-infty}x/(x-2)^(1/3)*e^x= lim_{x \to \-infty}x*e^x*1/(x-2)^(1/3)$

Il rapporto $1/(x-2)^(1/3)$ va a $0$, mentre:

$lim_{x \to \-infty}x*e^x=lim_{x \to \-infty}x/(1/e^x)$

Viste le ipotesi del terorema, posso applicare de l'Hopital:

$lim_{x \to \-infty}x/(1/e^x)=lim_{x \to \-infty}-e^x=0$

Dunque il limite in oggetto tende a $0$, atteso che $0*0$ non è forma indeterminata.