Studio di funzione
Ciao a tutti ragazzi! 
vi scrivo per chiedervi un aiuto riguardo questo studio di funzione; infatti, durante lo svolgimento, ho avuto alcuni dubbi.
Ho questa funzione definita a tratti: $f(x)=$
$ {e^(1/(x+3)) $ se $ x<-3 $
$ {x^3+8x^2+21x+18 $ se $ -3<=x<-1 $
$ {x+sqrt|x| $ se $ x>=-1 $
i) Studiare il carattere di eventuali punti di discontinuità e non derivabilità
ii) Trovare gli estremi relativi e assoluti di $ f(x) $
iii) Trovare gli eventuali asintoti al grafico di $ f(x) $
So che una funzione è continua se $ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $ allora la funzione è continua, ma questo deve essere fatto per ogni tratto e per ogni punto del dominio?
Cioè devo fare il limite di $ e^(1/(x+3)) $ per x che tende a -3 da destra e sinistra;
poi limite di $ x^3+8x^2+21x+18 $ per x che tende a $ -3^+ $ ,$ -3^- $e poi a $ -1^+ $ e $ -1^+ $? E infine il limite di $ x+sqrt|x| $ per x che tende a $ -1^+ $ e $ -1^+ $?
Per gli estremi devo fare la derivata della funzione?
Grazie in anticipo!
vi scrivo per chiedervi un aiuto riguardo questo studio di funzione; infatti, durante lo svolgimento, ho avuto alcuni dubbi.
Ho questa funzione definita a tratti: $f(x)=$
$ {e^(1/(x+3)) $ se $ x<-3 $
$ {x^3+8x^2+21x+18 $ se $ -3<=x<-1 $
$ {x+sqrt|x| $ se $ x>=-1 $
i) Studiare il carattere di eventuali punti di discontinuità e non derivabilità
ii) Trovare gli estremi relativi e assoluti di $ f(x) $
iii) Trovare gli eventuali asintoti al grafico di $ f(x) $
So che una funzione è continua se $ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $ allora la funzione è continua, ma questo deve essere fatto per ogni tratto e per ogni punto del dominio?
Cioè devo fare il limite di $ e^(1/(x+3)) $ per x che tende a -3 da destra e sinistra;
poi limite di $ x^3+8x^2+21x+18 $ per x che tende a $ -3^+ $ ,$ -3^- $e poi a $ -1^+ $ e $ -1^+ $? E infine il limite di $ x+sqrt|x| $ per x che tende a $ -1^+ $ e $ -1^+ $?
Per gli estremi devo fare la derivata della funzione?
Grazie in anticipo!
Risposte
"Hartinx":
Ciao a tutti ragazzi!
vi scrivo per chiedervi un aiuto riguardo questo studio di funzione; infatti, durante lo svolgimento, ho avuto alcuni dubbi.
Ho questa funzione definita a tratti: $f(x)=$
$ {e^(1/(x+3)) $ se $ x<-3 $
$ {x^3+8x^2+21x+18 $ se $ -3<=x<-1 $
$ {x+sqrt|x| $ se $ x>=-1 $
i) Studiare il carattere di eventuali punti di discontinuità e non derivabilità
ii) Trovare gli estremi relativi e assoluti di $ f(x) $
iii) Trovare gli eventuali asintoti al grafico di $ f(x) $
So che una funzione è continua se $ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $ allora la funzione è continua, ma questo deve essere fatto per ogni tratto e per ogni punto del dominio?
Cioè devo fare il limite di $ e^(1/(x+3)) $ per x che tende a -3 da destra e sinistra;
no solo da sinistra la tua funzione segue quella legge solo quando $x<-3$, cioè va bene $x_1=-3,001$ $x_2=-3,0001$ ma non $x_3=-2,999$
"Hartinx":
poi limite di $ x^3+8x^2+21x+18 $ per x che tende a $ -3^+ $ ,$ -3^- $e poi a $ -1^+ $ e $ -1^+ $?
perchè il limite?
valuterei semplicemente $f(-3)=-27+72-21+18=42$
e farei il limite per $-1^-$
"Hartinx":
E infine il limite di $ x+sqrt|x| $ per x che tende a $ -1^+ $ e $ -1^+ $?
anche qui calcolerei solo $f(-1)=0$
cosa mi dici riguardo $x=0$?
mmm non ho capito una cosa, per vedere se c'è discontinuità faccio $ x_0=-3 $ di $ f(x_o)=e^(1/(x_0+3)) $ e verifico che il risultato sia diverso da $ f(x_0)= x_0^3+8x_0^2+21x_0+18 $. Giusto?
"Hartinx":
mmm non ho capito una cosa, per vedere se c'è discontinuità faccio $ x_0=-3 $ di $ f(x_o)=e^(1/(x_0+3)) $ e verifico che il risultato sia diverso da $ f(x_0)= x_0^3+8x_0^2+21x_0+18 $. Giusto?
nel primo caso devo fare il limite perché la prima funzione si avvicina a $x_0=-3$, mentre per la seconda calcolo il valore perché lì è definita. Se i due valori sono uguali i due rami si attaccano e la funzione è continua.
Innanzitutto grazie ancora per l'aiuto, gio73, mi stai chiarendo molte cose! Comunque ho fatto il $ lim_(x->-3^-) e^(1/(x+3)) = 0 $ e la $ f(-3) $ della seconda legge, ho dedotto che in $ -3 $ la funzione è continua. In $ -1 $ invece il $ lim_(x->-1^-) x^3+8x^2+21x+18 != f(-1) $ della terza legge, dunque $ -1 $ è un punto di discontinuità.
Premesso che tutto quello che ho scritto sia giusto, adesso devo definire i punti di non derivabilità. Come li determino?
Premesso che tutto quello che ho scritto sia giusto, adesso devo definire i punti di non derivabilità. Come li determino?
mi fido dei tuoi conti
per sapere se è anche derivabile dobbiamo vedere "come" i due rami si attaccano.
Se si attaccano "dolcemente", senza spigoli, allora la funzione è derivabile, in altre parole il limite del rapporto incrementale da destra e da sinistra deve essere uguale
Ripeto la domanda: cosa succede quando $x=0$?
per sapere se è anche derivabile dobbiamo vedere "come" i due rami si attaccano.
Se si attaccano "dolcemente", senza spigoli, allora la funzione è derivabile, in altre parole il limite del rapporto incrementale da destra e da sinistra deve essere uguale
Ripeto la domanda: cosa succede quando $x=0$?
Non so, passa per l'origine?
direi di sì, ma hai provato a fare il grafico?
Mmmh sì, devo notare qualcosa in particolare?
a me sembra che l'origine sia un punto di non derivabilità, tu che ne dici?
Come faccio a capire se è un punto di non derivabilità?
Una cuspide ad esempio è un punto di non derivabilità, guarda questa immagine
http://www.bing.com/images/search?q=pun ... tedIndex=9
http://www.bing.com/images/search?q=pun ... tedIndex=9
Giusto! Cuspide, punto angoloso e flesso sono punti di non derivabilità, quindi il limite del rapporto incrementale per $ 0^+ $ è diverso da quello per $ 0^- $ dico bene? Comunque, come faccio a capire senza fare il grafico, quali sono i punti da studiare? O di solito si fa lo studio negli estremi dell'intervallo e nello 0? Grazie ancora
il valore assoluto dovrebbe metterti in sospetto.
ma ancora non mi hai detto niente del nostro punto sospetto.
ma ancora non mi hai detto niente del nostro punto sospetto.
E' una cuspide e quindi un punto di non derivabilità, infatti, come ho detto prima, i limiti destro e sinistro dei rapporti incrementali sono diversi
bene
Bene, invece per trovare gli estremi mi basta porre la derivata uguale a zero?
"Hartinx":
E' una cuspide e quindi un punto di non derivabilità, infatti, come ho detto prima, i limiti destro e sinistro dei rapporti incrementali sono diversi
Non so se questo sia del tutto corretto, lo avrei scritto per un punto angoloso
per la cuspide controlla su wiki
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