Studio di funzione
Ciao a tutti 
oggi mi è capitato questo esercizio:
"Si determini il numero delle intersezioni dei grafici delle funzioni $ f(x)=ax^2 $ e $ g(x)=lnx $ , al variare del parametro a in R"
L'esercizio richiede di determinare le soluzioni quando a minore o uguale a 0 e quando a maggiore di 0. Ho capito che devo fare il sistema con le due funzioni, cioè:
$ { ( y=ax^2 ),( y=lnx ):} $
ma poi come devo procedere? cioè mi sono bloccato qua...
grazie mille in anticipo
oggi mi è capitato questo esercizio:
"Si determini il numero delle intersezioni dei grafici delle funzioni $ f(x)=ax^2 $ e $ g(x)=lnx $ , al variare del parametro a in R"
L'esercizio richiede di determinare le soluzioni quando a minore o uguale a 0 e quando a maggiore di 0. Ho capito che devo fare il sistema con le due funzioni, cioè:
$ { ( y=ax^2 ),( y=lnx ):} $
ma poi come devo procedere? cioè mi sono bloccato qua...
grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao
sinceramente sono un po' stupito da questa domanda. Non dal fatto che ti l'abbia posta, ma dalla domanda in se
nel caso in cui $a<0$ e $a>0$ direi che la soluzione è una sola ovvero $x=0$
quando $a=0$ non importa quanto valga $x$, la funzione sarà sempre pari a zero quindi in quel caso sa soluzione è tutto $\mathbb{R}$
la seconda funzione è quella che mi incuriosisce di più. Non ha il parametro $a$!!!
quindi la soluzione è solo una ovvero $x=1$
sinceramente sono un po' stupito da questa domanda. Non dal fatto che ti l'abbia posta, ma dalla domanda in se
nel caso in cui $a<0$ e $a>0$ direi che la soluzione è una sola ovvero $x=0$
quando $a=0$ non importa quanto valga $x$, la funzione sarà sempre pari a zero quindi in quel caso sa soluzione è tutto $\mathbb{R}$
la seconda funzione è quella che mi incuriosisce di più. Non ha il parametro $a$!!!
quindi la soluzione è solo una ovvero $x=1$
Perdonami ma nel caso in cui a è negativo dovrei trovare un punto di intersezione, con x diverso da 0. Mentre nel caso in cui a è positivo non dovrei trovare soluzioni. Il problema è che non capisco come calcolare queste soluzioni.
"Summerwind78":
Ciao
sinceramente sono un po' stupito da questa domanda. Non dal fatto che ti l'abbia posta, ma dalla domanda in se
nel caso in cui $a<0$ e $a>0$ direi che la soluzione è una sola ovvero $x=0$
quando $a=0$ non importa quanto valga $x$, la funzione sarà sempre pari a zero quindi in quel caso sa soluzione è tutto $\mathbb{R}$
la seconda funzione è quella che mi incuriosisce di più. Non ha il parametro $a$!!!
quindi la soluzione è solo una ovvero $x=1$
Perdonami ma nel caso in cui a è negativo dovrei trovare un punto di intersezione, con x diverso da 0. Mentre nel caso in cui a è positivo non dovrei trovare soluzioni. Il problema è che non capisco come calcolare queste soluzioni.
"ymaxy":
Perdonami ma nel caso in cui a è negativo dovrei trovare un punto di intersezione, con x diverso da 0. Mentre nel caso in cui a è positivo non dovrei trovare soluzioni. Il problema è che non capisco come calcolare queste soluzioni.
Non sono d'accordo
prendiamo il semplice caso in cui $a \ne 0$ non importa se positivo o negativo e affrontiamo la questione dal punti di vista analitico.
Per vedere per quali valori di $x$ la funzione va a $0$ non dobbiamo fare altro che porre la funzione pari a $0$ e vedere che valore assume $x$ quindi
$f(x)=0 -> ax^2=0$
abbiamo detto che $a$ è una costante reale diversa da zero quindi è lecito dividere da entrambe le parti per $a$ e l'equazione resta verificata quindi
$ax^2 = 0 -> (ax^2)/a = 0/a$ (ricordiamo che $0/a=0$ ) quindi
$ax^2 = 0 -> (ax^2)/a = 0/a -> x^2 = 0$
prendiamo la radice quadrata da entrambe le parti per toglierci l'esponente alla seconda
$sqrt(x^2)= sqrt(0) -> x=0$
il punto di intersezione con l'asse $x$ è uno solo nel punto $x=0$ non importa che $a$ sia positivo o negativo
te lo dimostro anche graficamente nell'immagine
come vedi ho creato i grafici di $f(x) = ax^2$ usando diversi valori di $a$ e come vedi la parabola è più o meno stretta al variare di $a$ ma il punto di intersezione con l'asse $x$ resta lo stesso.
Se tu avessi $a$ negativo il risultato sarebbe identico eccezione fatta per il verso della parabola che sarebbe rivolta verso il basso anzichè verso l'alto.
è diverso invece il caso in cui $a=0$ perchè qualsiasi valore moltiplicato per zero non da altro che zero quindi se $a=0$
abbiamo che
$f(x)=0 -> ax^2 = 0 -> 0\cdot x^2 = 0$ che è sempre verificata perchè non importa quale valore assuma $x^2$, essendo moltiplicato per $0$ il prodotto darà sempre zero, quindi in quel caso la soluzione non è altro che $\mathbb{R}$
"Summerwind78":
[quote="ymaxy"]Perdonami ma nel caso in cui a è negativo dovrei trovare un punto di intersezione, con x diverso da 0. Mentre nel caso in cui a è positivo non dovrei trovare soluzioni. Il problema è che non capisco come calcolare queste soluzioni.
Non sono d'accordo
prendiamo il semplice caso in cui $a \ne 0$ non importa se positivo o negativo e affrontiamo la questione dal punti di vista analitico.
Per vedere per quali valori di $x$ la funzione va a $0$ non dobbiamo fare altro che porre la funzione pari a $0$ e vedere che valore assume $x$ quindi
$f(x)=0 -> ax^2=0$
abbiamo detto che $a$ è una costante reale diversa da zero quindi è lecito dividere da entrambe le parti per $a$ e l'equazione resta verificata quindi
$ax^2 = 0 -> (ax^2)/a = 0/a$ (ricordiamo che $0/a=0$ ) quindi
$ax^2 = 0 -> (ax^2)/a = 0/a -> x^2 = 0$
prendiamo la radice quadrata da entrambe le parti per toglierci l'esponente alla seconda
$sqrt(x^2)= sqrt(0) -> x=0$
il punto di intersezione con l'asse $x$ è uno solo nel punto $x=0$ non importa che $a$ sia positivo o negativo
te lo dimostro anche graficamente nell'immagine
come vedi ho creato i grafici di $f(x) = ax^2$ usando diversi valori di $a$ e come vedi la parabola è più o meno stretta al variare di $a$ ma il punto di intersezione con l'asse $x$ resta lo stesso.
Se tu avessi $a$ negativo il risultato sarebbe identico eccezione fatta per il verso della parabola che sarebbe rivolta verso il basso anzichè verso l'alto.
è diverso invece il caso in cui $a=0$ perchè qualsiasi valore moltiplicato per zero non da altro che zero quindi se $a=0$
abbiamo che
$f(x)=0 -> ax^2 = 0 -> 0\cdot x^2 = 0$ che è sempre verificata perchè non importa quale valore assuma $x^2$, essendo moltiplicato per $0$ il prodotto darà sempre zero, quindi in quel caso la soluzione non è altro che $\mathbb{R}$[/quote]
credo ci sia un'incomprensione: devo determinare l'intersezione tra i due grafici, non dei singoli grafici con l'asse delle ascisse/ordinate.
Non riesco a far funzionare geonext per farti capire. Comunque vediamo se riesco così: disegni il grafico del logaritmo e il grafico della funzione $ ax^2 $ . Si nota subito che per a>1 non si hanno intersezioni tra i due grafici mentre per 0
la domanda quindi rimane la stessa: come posso studiare questi punti al variare di a in R? Preciso che questo tipo di esercizio non è mai stato affrontato a lezione e non compare nemmeno nei libri di testo forniti dal professore, pertanto non ho idea di come vada sviluppato e di come lo voglia eseguito.
Chiedo scusa, avevo davvero frainteso io la domanda 
"Summerwind78":
Chiedo scusa, avevo davvero frainteso io la domanda
Tranquillo
Qualche idea comunque?
Non credo si possa trovare una soluzione analiticamente.
Penso che si possa procedere in modo numerico ma non sono sicuro del procedimento da usare
Penso che si possa procedere in modo numerico ma non sono sicuro del procedimento da usare
Non c'è propio nessuno che possa darmi una mano?
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