Studio di funzione
Salve a tutti stavo svolgendo lo studio della seguente funzione:
$f(x)= sqrt(|e^(x-2)-3|)-2x$
e mi sono bloccato allo studio della crescenza, mi spiego meglio io ho calcolato la derivata prima:
$f'(x)= [e^(x-2)|e^(x-2)-3|]/[2sqrt(|e^(x-2)-3|)(e^(x-2)-3)]-2$
Per studiare la crescenza ho posto la derivata prima $f'(x)>=0$
e ho provato a risolvere la disequazione:
$\{(e^(x-2)-3>0),([e^(x-2)]/[2sqrt(|e^(x-2)-3|)]-2>=0):}$
$\{(e^(x-2)-3>0),(e^(x-2) -4sqrt(e^(x-2)-3)>=0), (sqrt(e^(x-2)-3)>=0):}$
le soluzioni del sistema che mi escono sono :
$ \{(x>=ln(3)+2),(x>=ln(16)+2 -ln(48))>=0), (AA x):} $
(non ho fatto il caso $(e^(x-2)-3)<0$ poichè altrimenti non esisterebbe la radice)
ma non sono giuste qualcuno saprebbe darmi una mano e dirmi dove sbaglio? grazie in anticipo e buone feste!!
$f(x)= sqrt(|e^(x-2)-3|)-2x$
e mi sono bloccato allo studio della crescenza, mi spiego meglio io ho calcolato la derivata prima:
$f'(x)= [e^(x-2)|e^(x-2)-3|]/[2sqrt(|e^(x-2)-3|)(e^(x-2)-3)]-2$
Per studiare la crescenza ho posto la derivata prima $f'(x)>=0$
e ho provato a risolvere la disequazione:
$\{(e^(x-2)-3>0),([e^(x-2)]/[2sqrt(|e^(x-2)-3|)]-2>=0):}$
$\{(e^(x-2)-3>0),(e^(x-2) -4sqrt(e^(x-2)-3)>=0), (sqrt(e^(x-2)-3)>=0):}$
le soluzioni del sistema che mi escono sono :
$ \{(x>=ln(3)+2),(x>=ln(16)+2 -ln(48))>=0), (AA x):} $
(non ho fatto il caso $(e^(x-2)-3)<0$ poichè altrimenti non esisterebbe la radice)
ma non sono giuste qualcuno saprebbe darmi una mano e dirmi dove sbaglio? grazie in anticipo e buone feste!!
Risposte
Per prima cosa, ti faccio presente che il radicando è sempre definito, visto che la radice si presenta nella forma $\sqrt{|f(x)|}$ e che quindi, per il calcolo del dominio, si deve avere $|f(x)|\ge 0$ che, in questo caso, essendo la $f$ sempre definita, risulta sempre verificato. Per cui il dominio della tua funzione è tutto $RR$ (non mi dire che la stavi studiando su $(2+\log 3,+\infty)$, perché altrimenti ti conviene ricominciare tutto da capo!).
Per la derivata, non vorrei darti una brutta notizia, ma quella corretta è
$$f'(x)=\frac{e^x|e^{x-2}-3|}{2\sqrt{|e^{x-2}-3|}(e^{x-2}-3)}-2$$
e lo studio del segno di tale derivata va fatto sia per $e^{x-2}-3\ge 0$ che per $e^{x-2}-3<0$.
Per la derivata, non vorrei darti una brutta notizia, ma quella corretta è
$$f'(x)=\frac{e^x|e^{x-2}-3|}{2\sqrt{|e^{x-2}-3|}(e^{x-2}-3)}-2$$
e lo studio del segno di tale derivata va fatto sia per $e^{x-2}-3\ge 0$ che per $e^{x-2}-3<0$.
"ciampax":
Per prima cosa, ti faccio presente che il radicando è sempre definito, visto che la radice si presenta nella forma $\sqrt{|f(x)|}$ e che quindi, per il calcolo del dominio, si deve avere $|f(x)|\ge 0$ che, in questo caso, essendo la $f$ sempre definita, risulta sempre verificato. Per cui il dominio della tua funzione è tutto $RR$ (non mi dire che la stavi studiando su $(2+\log 3,+\infty)$, perché altrimenti ti conviene ricominciare tutto da capo!).
Per la derivata, non vorrei darti una brutta notizia, ma quella corretta è
$$f'(x)=\frac{e^x|e^{x-2}-3|}{2\sqrt{|e^{x-2}-3|}}-2$$
e lo studio del segno di tale derivata va fatto sia per $e^{x-2}-3\ge 0$ che per $e^{x-2}-3<0$.
ei ciao e grazie per la risposta, ma ho dato un' occhiata e per la derivata sono abbastanza sicuro che sia gusta poichè la derivata di $|x|$ è $|x|/x$
Scusa , ho dimenticato il termine a denominatore riscrivendo. Ma il punto era che la derivata di $e^{x-2}-3$ è $e^x$. Corretto.
"ciampax":
Scusa , ho dimenticato il termine a denominatore riscrivendo. Ma il punto era che la derivata di $e^{x-2}-3$ è $e^x$. Corretto.
Per sicurezza ho dato un' occhiata su un sito per il calcolo delle derivate (http://mathematikoi.it/Strumenti-Di-Cal ... ivate.html) e risulta che la derivata di $e^(x-2)$ è $e^(x-2)$
Sì, hai ragione tu, stavo pensando a tutt'altro. Questa mattina sto ancora dormendo! 
Comunque, devi in ogni caso risolvere la disequazione con le due condizioni: ti faccio notare che se
$$e^{x-2}-3\ge 0\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{e^{x-2}-4\sqrt{e^{x-2}-3}}{2\sqrt{e^{x-2}-3}}\\ e^{x-2}-3<0\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{e^{x-2}-4\sqrt{-e^{x-2}+3}}{2\sqrt{-e^{x-2}+3}}$$
Dal momento che la funzione radice risulta sempre non negativa, quando vai a risolvere le disequazioni per determinare la monotonia basta concentrarsi sui numeratori, escludendo al più il punto $x=2+\log 3$ dove la radice si annulla.
Comunque, devi in ogni caso risolvere la disequazione con le due condizioni: ti faccio notare che se
$$e^{x-2}-3\ge 0\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{e^{x-2}-4\sqrt{e^{x-2}-3}}{2\sqrt{e^{x-2}-3}}\\ e^{x-2}-3<0\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{e^{x-2}-4\sqrt{-e^{x-2}+3}}{2\sqrt{-e^{x-2}+3}}$$
Dal momento che la funzione radice risulta sempre non negativa, quando vai a risolvere le disequazioni per determinare la monotonia basta concentrarsi sui numeratori, escludendo al più il punto $x=2+\log 3$ dove la radice si annulla.
"ciampax":
Sì, hai ragione tu, stavo pensando a tutt'altro. Questa mattina sto ancora dormendo!
Comunque, devi in ogni caso risolvere la disequazione con le due condizioni: ti faccio notare che se
$$e^{x-2}-3\ge 0\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{e^{x-2}-4\sqrt{e^{x-2}-3}}{2\sqrt{e^{x-2}-3}}\\ e^{x-2}-3<0\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{e^{x-2}-4\sqrt{-e^{x-2}+3}}{2\sqrt{-e^{x-2}+3}}$$
Dal momento che la funzione radice risulta sempre non negativa, quando vai a risolvere le disequazioni per determinare la monotonia basta concentrarsi sui numeratori, escludendo al più il punto $x=2+\log 3$ dove la radice si annulla.
ok è quello che ho avevo fatto anche io nel caso $|e^(x-2)-3|>0$ escludendo il punto $x=2+\log 3$ che studiandolo mi era risultato un punto di non derivabilità e più precisamente un punto di cuspide. Adesso ho provato a fare anche l' altro caso $|e^(x-2)-3|<0$ ma non mi esce lo stesso. Grazie ancora per l' aiuto!
Ma non devi mettere il valore assoluto, solo ciò che c'è dentro! Il valore assoluto è sempre positivo, che senso ha mettere le disequazioni così? Allora, nel primo caso hai, quando $e^{x-2}-3\ge 0$, la seguente disequazione
$$e^{x-2}-4\sqrt{e^{x-2}-3}\ge 0\ \Rightarrow\ 4\sqrt{e^{x-2}-3}\le e^{x-2}$$
la quale equivale al sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
e^{x-2}\ge 0\\ e^{x-2}-3\ge 0\\ 16(e^{x-2}-3)\le e^{2x-4}
\end{array}\right.$$
Le prime due disequazioni sono verificate (la prima sempre, la seconda a causa della condizione in cui ci siamo posti) e quindi abbiamo da risolvere solo la disequazione seguente
$$e^{2(x-2)}-16e^{x-2}+48\ge 0\ \Rightarrow\ t^2-16e^t+48\le 0,\ t=e^{x-2}$$
Le soluzioni risultano
$$4\le t\le 12\ \Rightarrow\ 2+\log 4\le x\le 2+\log 12$$
che unite a quelle della condizione $x\ge 2+\log 3$ ti fanno concludere che la funzione $f$
-cresce su $(2+\log 3,2+\log 4)\cup(2+\log 12,+\infty)$;
-decresce su $(2+\log 4,2+\log 12)$;
-ammette massimo in $A(2+\log 4,-3-4\log 4)$ e minimo in $B(2+\log 12,-2\log 12)$
Per quanto riguarda il ramo con la condizione $e^{x-2}-3<0$ si ha la disequazione
$$-e^{-x-2}-4\sqrt{-e^{x-2}+3}\ge 0\ \Rightarrow\ 4\sqrt{-e^{x-2}+3}\le -e^{x-2}$$
la quale non ammette soluzioni, in quanto viene richiesto che la radice, sempre positiva, sia minore o uguale ad una quantità sempre negativa. In definitiva la funzione risulta sempre decrescente sull'intervallo $(-\infty,2+\log 3)$.
Come hai giustamente osservato, il punto $x=2+\log 3$ risulta una cuspide. Inoltre, dal momento che a destra di esso la funzione cresce, mentre a sinistra decresce, il punto $C(2+\log 3,-4-2\log 3)$ risulta un ulteriore minimo, che a posteriori, risulta assoluto (in quanto l'ordinata di $C$ è minore di quella di $B$).
$$e^{x-2}-4\sqrt{e^{x-2}-3}\ge 0\ \Rightarrow\ 4\sqrt{e^{x-2}-3}\le e^{x-2}$$
la quale equivale al sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
e^{x-2}\ge 0\\ e^{x-2}-3\ge 0\\ 16(e^{x-2}-3)\le e^{2x-4}
\end{array}\right.$$
Le prime due disequazioni sono verificate (la prima sempre, la seconda a causa della condizione in cui ci siamo posti) e quindi abbiamo da risolvere solo la disequazione seguente
$$e^{2(x-2)}-16e^{x-2}+48\ge 0\ \Rightarrow\ t^2-16e^t+48\le 0,\ t=e^{x-2}$$
Le soluzioni risultano
$$4\le t\le 12\ \Rightarrow\ 2+\log 4\le x\le 2+\log 12$$
che unite a quelle della condizione $x\ge 2+\log 3$ ti fanno concludere che la funzione $f$
-cresce su $(2+\log 3,2+\log 4)\cup(2+\log 12,+\infty)$;
-decresce su $(2+\log 4,2+\log 12)$;
-ammette massimo in $A(2+\log 4,-3-4\log 4)$ e minimo in $B(2+\log 12,-2\log 12)$
Per quanto riguarda il ramo con la condizione $e^{x-2}-3<0$ si ha la disequazione
$$-e^{-x-2}-4\sqrt{-e^{x-2}+3}\ge 0\ \Rightarrow\ 4\sqrt{-e^{x-2}+3}\le -e^{x-2}$$
la quale non ammette soluzioni, in quanto viene richiesto che la radice, sempre positiva, sia minore o uguale ad una quantità sempre negativa. In definitiva la funzione risulta sempre decrescente sull'intervallo $(-\infty,2+\log 3)$.
Come hai giustamente osservato, il punto $x=2+\log 3$ risulta una cuspide. Inoltre, dal momento che a destra di esso la funzione cresce, mentre a sinistra decresce, il punto $C(2+\log 3,-4-2\log 3)$ risulta un ulteriore minimo, che a posteriori, risulta assoluto (in quanto l'ordinata di $C$ è minore di quella di $B$).
"ciampax":
Ma non devi mettere il valore assoluto, solo ciò che c'è dentro! Il valore assoluto è sempre positivo, che senso ha mettere le disequazioni così? Allora, nel primo caso hai, quando $e^{x-2}-3\ge 0$, la seguente disequazione
$$e^{x-2}-4\sqrt{e^{x-2}-3}\ge 0\ \Rightarrow\ 4\sqrt{e^{x-2}-3}\le e^{x-2}$$
la quale equivale al sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
e^{x-2}\ge 0\\ e^{x-2}-3\ge 0\\ 16(e^{x-2}-3)\le e^{2x-4}
\end{array}\right.$$
Le prime due disequazioni sono verificate (la prima sempre, la seconda a causa della condizione in cui ci siamo posti) e quindi abbiamo da risolvere solo la disequazione seguente
$$e^{2(x-2)}-16e^{x-2}+48\ge 0\ \Rightarrow\ t^2-16e^t+48\le 0,\ t=e^{x-2}$$
Le soluzioni risultano
$$4\le t\le 12\ \Rightarrow\ 2+\log 4\le x\le 2+\log 12$$
che unite a quelle della condizione $x\ge 2+\log 3$ ti fanno concludere che la funzione $f$
ok grazie mille ho capito mi era sfuggito il passaggio di sostituzione che hai fatto e non mi usciva grazie mille ora mi è tutto chiaro. Grazie ancora e buone feste!!
-cresce su $(2+\log 3,2+\log 4)\cup(2+\log 12,+\infty)$;
-decresce su $(2+\log 4,2+\log 12)$;
-ammette massimo in $A(2+\log 4,-3-4\log 4)$ e minimo in $B(2+\log 12,-2\log 12)$
Per quanto riguarda il ramo con la condizione $e^{x-2}-3<0$ si ha la disequazione
$$-e^{-x-2}-4\sqrt{-e^{x-2}+3}\ge 0\ \Rightarrow\ 4\sqrt{-e^{x-2}+3}\le -e^{x-2}$$
la quale non ammette soluzioni, in quanto viene richiesto che la radice, sempre positiva, sia minore o uguale ad una quantità sempre negativa. In definitiva la funzione risulta sempre decrescente sull'intervallo $(-\infty,2+\log 3)$.
Come hai giustamente osservato, il punto $x=2+\log 3$ risulta una cuspide. Inoltre, dal momento che a destra di esso la funzione cresce, mentre a sinistra decresce, il punto $C(2+\log 3,-4-2\log 3)$ risulta un ulteriore minimo, che a posteriori, risulta assoluto (in quanto l'ordinata di $C$ è minore di quella di $B$).
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