Studio di funzione

[pemaberty]

Salve, sto provando a disegnare il grafico di questa funzione:

$ f(x) = ln(x+1) - sqrt(x+1)$

-Il campo di esistenza è $x> -1$

-Per x tendente a -1 la funzione tende a meno infinito

- mi sono trovato un punto di massimo che è (1, -0.72)

- Avendo trovato massimo assoluto in (1,-0.72) deduco che la funzione non è mai positiva (giusto?)

Adesso mi servirebbe calcolare il limite per x tendente a più infinito, ma non ci riesco. Come fare?

[Emar1]

"TheAnswer93":
- Avendo trovato massimo assoluto in (1,-0.72) deduco che la funzione non è mai positiva (giusto?)

No. Non puoi concludere che la funzione è sempre positiva. I massimi che individui sono "locali" e non coincidono con gli estremi del codominio.

"TheAnswer93":
Adesso mi servirebbe calcolare il limite per x tendente a più infinito, ma non ci riesco. Come fare?

Beh, raccogli la radice e ricorda che $log(x)$ è un infinito di ordine inferiore a qualsiasi potenza di $x$.

[pemaberty]

Raccogliendo la radice e tenendo prensente che $log(x)$ è un infinito sempre di ordine ingeriore a qualsiasi potenza di $x$ ritrovo f che che tende a $-infty$. Non potendo concludere che la funzione è sempre negativa perche quello è un massimo relativo come posso fare per determinare la positività?

[Emar1]

"TheAnswer93":Raccogliendo la radice e tenendo prensente che $log(x)$ è un infinito sempre di ordine ingeriore a qualsiasi potenza di $x$ ritrovo f che che tende a $-infty$.

Esatto

"TheAnswer93":
Non potendo concludere che la funzione è sempre negativa perche quello è un massimo relativo come posso fare per determinare la positività?

Devi risolvere la disequazione:

[tex]f(x) = log(x + 1) - \sqrt{(x+1)} \geq 0[/tex]

Ovvero:

[tex]log(x + 1) \geq \sqrt{(x+1)}[/tex]

Che non è mai verificata. Il che indica che il codominio della funzione è $(0,-\infty]$. La funzione quindi, come dicevi tu, "vive" al di sotto dell'asse $x$.

[pemaberty]

"Emar":[quote="TheAnswer93"]Raccogliendo la radice e tenendo prensente che $log(x)$ è un infinito sempre di ordine ingeriore a qualsiasi potenza di $x$ ritrovo f che che tende a $-infty$.

Esatto

"TheAnswer93":
Non potendo concludere che la funzione è sempre negativa perche quello è un massimo relativo come posso fare per determinare la positività?

Devi risolvere la disequazione:

[tex]f(x) = log(x + 1) - \sqrt{(x+1)} \geq 0[/tex]

Ovvero:

[tex]log(x + 1) \geq \sqrt{(x+1)}[/tex]

Che non è mai verificata. Il che indica che il codominio della funzione è $(0,-\infty]$. La funzione quindi, come dicevi tu, "vive" al di sotto dell'asse $x$.[/quote]

Non vorrei sembrare una capra con le disequazioni, ma un'irrazionale di questo tipo non mi sembra molto semplice.

infatti il sistema a tre che troverei mi darebbe una delle disequazioni che è:

$ln^2(x+1)>= x+1$ O sbaglio?

[Emar1]

"TheAnswer93":

Non vorrei sembrare una capra con le disequazioni, ma un'irrazionale di questo tipo non mi sembra molto semplice.

infatti il sistema a tre che troverei mi darebbe una delle disequazioni che è:

$ln^2(x+1)>= x+1$ O sbaglio?

Devo confessarti che sono andato ad occhio. Considerando il grafico (la radice sta sempre sopra al logaritmo) e considerando il fatto che l'ordine di infinito del logaritmo è inferiore.

[pemaberty]

Grazie lo stesso. Sto studiando da stamattina alle 8 e a quest'ora sono un pò fuso Le cose ad intuizione proprio non mi riescono più