Studio di funzione

[silvia851-votailprof]

Salve ha tutti ho un piccolo dubbio e vorrei un chiarimento:
per vedere se una funzione è limitata superiormente o inferiormente il faccio il limite della funzione....ma la $x$ a cosa deve tendere e soprattutto cosa deve risultare dal limite?

[gio73]

"silvia_85": Salve ha tutti

"silvia_85": ho un piccolo dubbio e vorrei un chiarimento:
per vedere se una funzione è limitata superiormente o inferiormente il faccio il limite della funzione....ma la $x$ a cosa deve tendere e soprattutto cosa deve risultare dal limite?

Cosa significa secondo te "una funzione è limitata superiormente o inferiormente"?
Prova a fare degli esempi con funzioni note.

[silvia851-votailprof]

intanto vorrei scusarmi.....conosco la grammatica.....ma penso che sia capitato un pò a tutti che sia scappata una lettera nello scrivere al pc.......comunque detto questo vorrei specificare una cosa: non mi riferisco ad una funzione in particolare ma parlo in generale, non c'è una regola generale?

[Obidream]

Per dimostrare che $y=f(x)$ è limitata, penso tu debba provare che $b<=f(x)<=a$,$AA x in dom(f)$

Ad esempio per $f(x)=sin(x)$, vale $-1<=sin(x)<=1$ nel suo dominio ($RR$), quindi è limitata

[silvia851-votailprof]

e come faccio a trovarvi il codominio delle funzioni? è questo principalmente che non ho capito

[Obidream]

Del codominio non ti devi preoccupare.. In genere si sottintende $f : dom(f)->RR$, quindi al massimo devi preoccuparti dell'immagine della funzione

[silvia851-votailprof]

in poche parole posso capire se è limitata o meno solo vedendo la funzione rappresentata graficamente?non c'è altro metodo? anche perchè se guardo il dominio di una funzione che ha tutto R posso supporre che è illimitata e invece poi è limitata in qualche punto....eco io vorrei evitare questo errore

[Obidream]

Come ben sai, il $sin(x)$ ha come dominio tutto $RR$ però, essendo sempre compresa tra $-1$ ed $1$ ( nota che $[-1,1]$ è anche l'immagine di $f(x)=sin(x)$)... quindi il dominio c'entra poco con la limitatezza... Quindi se l'immagine della funzione ammette sup e inf entrambi finiti, allora la funzione è limitata..
Poi non ho ben capito cosa intendi per limitata in qualche punto...

[silvia851-votailprof]

no no....da tutto quelli che dici hai capito il mio dubbio....il problema è che con alcune funzioni tipo quella che hai scritto ed altre sappiamo il loro andamento, io mi riferisco in generale a delle funzioni non poi cosi note come l'esempio che hai fatto e che quindi bisogna capire se limitata....per limitata intendo sia superiormente che inferiormente, cioè se esiste un punto k in cui la funzione è $f(x)

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[Obidream]

Se è limitata sia inferiormente che superiormente devono valore entrambe, non una o l'altra..
Comunque, proviamo con un esempio:

$f(x)=log(sqrt(x+1/x))$

Tu cosa faresti per stabilire se è limitata inferiormente o superiormente, oppure entrambe?

[silvia851-votailprof]

intanto il log deve essere diverso da zero, io direi che è limitata inferiormente

[Obidream]

Come fai a dirlo?

[silvia851-votailprof]

legge dei logaritmi deve essere diverso da zero, altrimenti non esiste

[gio73]

"silvia_85":legge dei logaritmi deve essere diverso da zero, altrimenti non esiste

Puoi spiegarti meglio?
Non capisco cosa vuoi dire.

[silvia851-votailprof]

per la legge dei logaritmi deve essere $a>0$ e $a!=1$

[Obidream]

Però $g(x)=log(x)$ è certamente non limitata in quanto $Im(g)=(-oo,+oo)$ quindi c'è qualcosa che non va...

[silvia851-votailprof]

O.o e quindi??? vedi mi perdo da sola....perchè non riesco a capirlo?

[Obidream]

Prova a dare uno sguardo al grafico del sin(x) e del log(x)... come puoi vedere possiamo sempre "bloccare" il seno tra due valori finiti... mentre per il logaritmo non è possibile...
Ma come hai già detto tu, questo vale solo per funzioni che sappiamo disegnare facilmente, mentre per quello non elementari si può ad esempio agire con gli strumenti dello studio di funzione.. massimi e minimi assoluti etc..

[silvia851-votailprof]

quindi mi stai dicendo che posso capire se una funzione, ovviamente diversa da quelle che noi conosciamo, è limitata o meno calcolandomi la derivata prima e andando a cercare se esiste il massimo e il minimo?

[Obidream]

No.. con la derivata prima trovi massimi e minimi, ma possono essere locali... Invece tu devi trovare 2 numeri finiti dove "bloccare" la funzione come il seno... praticamente deve valere $m<=f(x)<=M$, $AA x in dom(f)$... e non soltanto per un certo intervallo...

[silvia851-votailprof]

esatto.....mi rispiego....questo infatti è quello che so teoricamente....su questo siamo entrambi d'accordo....il problema è che non riesco a mettere in pratica la teoria...non so come trovarmi "questi 2 numeri finiti per bloccare la funzione"