Studio di funzione
Ciao a tutti, ho un problemino con lo studio della seguente funzione.
$y=x-ln(|x|)$
inizialmente ho determinato l'insieme di definizione ( x deve essere diverso da 0). Ho trovato che la funzione non ha intersezioni con l'asse delle ordinate (x=0 è un asintoto verticale). Ha un'intersezione con l'asse delle ascisse per x che appartiene all'intervallo $[-0,5;-0,6]$. adesso sto cercando di trovare gli asintoti, devo già separare i due casi a causa del valore assoluto o posso tenerlo ancora? Ho trovato l'asintoto verticale x=0; la funzione non ha asintoti orizzontali. Per gli asintoti obliqui io non ne trovo, ma dal grafico esce che dovrebbe averne. non capisco qual è l'errore.
Grazie mille a tutti
$y=x-ln(|x|)$
inizialmente ho determinato l'insieme di definizione ( x deve essere diverso da 0). Ho trovato che la funzione non ha intersezioni con l'asse delle ordinate (x=0 è un asintoto verticale). Ha un'intersezione con l'asse delle ascisse per x che appartiene all'intervallo $[-0,5;-0,6]$. adesso sto cercando di trovare gli asintoti, devo già separare i due casi a causa del valore assoluto o posso tenerlo ancora? Ho trovato l'asintoto verticale x=0; la funzione non ha asintoti orizzontali. Per gli asintoti obliqui io non ne trovo, ma dal grafico esce che dovrebbe averne. non capisco qual è l'errore.
Grazie mille a tutti
Risposte
Posta i passaggi che ti portano a concludere che non ci sono asintoti obliqui.
ecco qui la foto 
spero si veda.
spero si veda.
In effetti i calcoli sono corretti.
Quella funzione non ha asintoti obliqui.
Quella funzione non ha asintoti obliqui.
Anche a me sembra, solo che poi, attraverso un programma che disegna le curve, mi esce questo grafico che mi sembra abbia asintoti obliqui
Guardando il grafico si ha l'impressione che dovrebbero esserci questi asintoti. Ma in questo caso (come capita non raramente) l'intuito sbaglia.
D'altra parte se davvero la funzione $f(x)=x-\ln |x|$ avesse asintoti obliqui, li dovrebbe avere anche $\ln|x|$, ti sembra logico?
Ma $\ln|x|$ chiaramente non ha asintoti obliqui.
Le parti di grafico che sembrano avvicinarsi sempre più ad una retta, in realtà, si allontanano (lentamente ma indefinitamente) da qualunque retta ti possa sembrare ragionevole assumere come asintoto obliquo.
D'altra parte se davvero la funzione $f(x)=x-\ln |x|$ avesse asintoti obliqui, li dovrebbe avere anche $\ln|x|$, ti sembra logico?
Ma $\ln|x|$ chiaramente non ha asintoti obliqui.
Le parti di grafico che sembrano avvicinarsi sempre più ad una retta, in realtà, si allontanano (lentamente ma indefinitamente) da qualunque retta ti possa sembrare ragionevole assumere come asintoto obliquo.
Grazie mille, anche dopo quando calcolo i massimi / minimi mi esce un minimo m(1,1) e un massimo M(-1,-1). Anche qui è un sbaglio dell'intuito o ho sbagliato qualche calcolo? (v.procedimenti).
C'è poi la seconda parte dell'esercizio che dice: dimostra che al variare del numero reale k, la retta rk di equazione y=x+k ha sempre due punti d'intersezione che indichiamo con A e B, con il grafico di f [y=x-ln(|x|)] e determina poi la posizione del punto medio M del segmento AB.
Ho trovato i due valori di k in cui avviene l'intersezione $k1=-ln(x)$, $k2=-ln(-x)$. Adesso non so come procedere
Scusa il disturbo
C'è poi la seconda parte dell'esercizio che dice: dimostra che al variare del numero reale k, la retta rk di equazione y=x+k ha sempre due punti d'intersezione che indichiamo con A e B, con il grafico di f [y=x-ln(|x|)] e determina poi la posizione del punto medio M del segmento AB.
Ho trovato i due valori di k in cui avviene l'intersezione $k1=-ln(x)$, $k2=-ln(-x)$. Adesso non so come procedere
Scusa il disturbo
Mi sembra che la derivata di $ln(-x)$ sia $1/x$, per cui
$f'(x)={(1-1/x,if x>0),(1-1/x,if x<0):}$.
Quindi l'unico punto in cui $f'(x)=0$ è $(1, 1)$.
Per la seconda parte dell'esercizio io farei così...
Intersecando retta e curva si ottengono le ascisse
$x+k=x-ln|x| ->ln|x|=-k->|x|=e^-k->x_A=-e^-k, x_B=+e^-k $
e le corrispondenti ordinate
$y_A=f(-e^-k)=-e^-k-ln|-e^-k|=-e^-k-ln(e^-k)=-e^-k+k$,
$y_B=f(e^-k)=e^-k-ln|e^-k|=e^-k-ln(e^-k)=e^-k+k$.
Da queste le coordinate del punto medio $M$
$x_M=0$
$y_M=k$.
$f'(x)={(1-1/x,if x>0),(1-1/x,if x<0):}$.
Quindi l'unico punto in cui $f'(x)=0$ è $(1, 1)$.
Per la seconda parte dell'esercizio io farei così...
Intersecando retta e curva si ottengono le ascisse
$x+k=x-ln|x| ->ln|x|=-k->|x|=e^-k->x_A=-e^-k, x_B=+e^-k $
e le corrispondenti ordinate
$y_A=f(-e^-k)=-e^-k-ln|-e^-k|=-e^-k-ln(e^-k)=-e^-k+k$,
$y_B=f(e^-k)=e^-k-ln|e^-k|=e^-k-ln(e^-k)=e^-k+k$.
Da queste le coordinate del punto medio $M$
$x_M=0$
$y_M=k$.
Grazie mille, ho capito come fare!
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