Studio di forma differenziale
Potete dirmi se ci sono errori in questo studio di forma differenziale?
"Sia data la forma differenziale
$ w=(2xz)/(x^2+y^2+z)dx+(2yz)/(x^2+y^2+z)dy+[z/(x^2+y^2+z)+ln(x^2+y^2+z)]dz $
a) Determinare l'insieme di definizione di w.
b) Si verifichi che w è esatta.
c) Si calcoli l'integrale di w esteso al segmento orientato i cui estremi sono nell'ordine (0; 0; 1) e
(1; 0; 0)."
- Svolgimento:
a) $ D:{(x,y,z)in R^3 | z> -x^2-y^2} $
b) Prima verifico che w sia chiusa.
$ (delta A)/(delta y)=(delta B)/(delta x) $
$ (delta B)/(delta z)=(delta C)/(delta y) $
$ (delta C)/(delta x)=(delta A)/(delta z) $
$ (-4xyz)/((x^2+y^2+z)^2)=(-4xyz)/((x^2+y^2+z)^2) $
$ (2x^2y+2y^3-4yz)/((x^2+y^2+z)^2)=(2x^2y+2y^3-4yz)/((x^2+y^2+z)^2) $
$ (2x(x^2+y^2+z)-2xz)/((x^2+y^2+z)^2) = (2x(x^2+y^2+z)-2xz)/((x^2+y^2+z)^2) $
Dunque w è chiusa, ed essendo R^3 semplicemente connesso posso anche concludere che w è esatta.
c) Trovo prima la funzione potenziale:
$ U(x,y,z)=zln|x^2+y^2+z| $
L'integrale vale:
$ U(1, 0, 0)-U(0, 0, 1) = 0 - ln|1| = 0 $
"Sia data la forma differenziale
$ w=(2xz)/(x^2+y^2+z)dx+(2yz)/(x^2+y^2+z)dy+[z/(x^2+y^2+z)+ln(x^2+y^2+z)]dz $
a) Determinare l'insieme di definizione di w.
b) Si verifichi che w è esatta.
c) Si calcoli l'integrale di w esteso al segmento orientato i cui estremi sono nell'ordine (0; 0; 1) e
(1; 0; 0)."
- Svolgimento:
a) $ D:{(x,y,z)in R^3 | z> -x^2-y^2} $
b) Prima verifico che w sia chiusa.
$ (delta A)/(delta y)=(delta B)/(delta x) $
$ (delta B)/(delta z)=(delta C)/(delta y) $
$ (delta C)/(delta x)=(delta A)/(delta z) $
$ (-4xyz)/((x^2+y^2+z)^2)=(-4xyz)/((x^2+y^2+z)^2) $
$ (2x^2y+2y^3-4yz)/((x^2+y^2+z)^2)=(2x^2y+2y^3-4yz)/((x^2+y^2+z)^2) $
$ (2x(x^2+y^2+z)-2xz)/((x^2+y^2+z)^2) = (2x(x^2+y^2+z)-2xz)/((x^2+y^2+z)^2) $
Dunque w è chiusa, ed essendo R^3 semplicemente connesso posso anche concludere che w è esatta.
c) Trovo prima la funzione potenziale:
$ U(x,y,z)=zln|x^2+y^2+z| $
L'integrale vale:
$ U(1, 0, 0)-U(0, 0, 1) = 0 - ln|1| = 0 $
Risposte
La forma non è definita in $\mathbb{R}^3$, ma in $D$; quindi non puoi concludere l'esattezza di $\omega$ dalla semplice connessione di $\mathbb{R}^3$.
Come risolvi questo inconveniente?
Il resto ad occhio mi sembra corretto, aggiungerei un $+c$ nella primitiva.
Come risolvi questo inconveniente?
Il resto ad occhio mi sembra corretto, aggiungerei un $+c$ nella primitiva.
Scusa, in realtà volevo scrivere che D è semplicemente connesso.
Non lo è?
Non lo è?
"maxira":
Scusa, in realtà volevo scrivere che D è semplicemente connesso.
Non lo è?
Quanto fa $w$ in $(0,0,0)$?
Giusto.
Quindi potrei sia cercare una curva chiusa lungo la quale l'integrale curvilineo di w fa zero, sia affermare che se esiste una primitiva di w allora la forma è esatta.
Però devo fare una correzione.
Infatti nel calcolo della primitiva trovo:
$ U_x=(2xz)/(x^2+y^2+z) $
$ U(x,y,z)=int_()^() (2xz)/(x^2+y^2+z) dx $
$ U(x,y,z)=zln|x^2+y^2+z|+C(y,z) $
che ha derivata parziale rispetto ad y:
$ U_y=(2yz)/(x^2+y^2+z)+C'(y,z) $
che è uguale alla seconda componente della forma differenziale solo se C(y,z)=costante.
Mentre rispetto a z:
$ U_z=(z)/(x^2+y^2+z)+C'(y,z) $
che è uguale alla terza componente della forma differenziale solo se $ C(y,z)=ln(x^2+y^2+z) $.
Dato che C non può essere uguale ad una costante e $ ln(x^2+y^2+z) $ contemporaneamente, non esiste una primitiva e la forma non è esatta.
Quindi potrei sia cercare una curva chiusa lungo la quale l'integrale curvilineo di w fa zero, sia affermare che se esiste una primitiva di w allora la forma è esatta.
Però devo fare una correzione.
Infatti nel calcolo della primitiva trovo:
$ U_x=(2xz)/(x^2+y^2+z) $
$ U(x,y,z)=int_()^() (2xz)/(x^2+y^2+z) dx $
$ U(x,y,z)=zln|x^2+y^2+z|+C(y,z) $
che ha derivata parziale rispetto ad y:
$ U_y=(2yz)/(x^2+y^2+z)+C'(y,z) $
che è uguale alla seconda componente della forma differenziale solo se C(y,z)=costante.
Mentre rispetto a z:
$ U_z=(z)/(x^2+y^2+z)+C'(y,z) $
che è uguale alla terza componente della forma differenziale solo se $ C(y,z)=ln(x^2+y^2+z) $.
Dato che C non può essere uguale ad una costante e $ ln(x^2+y^2+z) $ contemporaneamente, non esiste una primitiva e la forma non è esatta.
Qual è la definizione di forma differenziale esatta?
"Mephlip":
Qual è la definizione di forma differenziale esatta?
Una forma differenziale w=Adx+Bdy+Cdz è esatta se ammette una primitiva, cioè se esiste una funzione potenziale $ U(x,y,z) $ tale che $ U_x=A $, $ U_y=B $, $ U_z=C $.
Mi riferivo al messaggio cancellato, come vedi nella definizione di esattezza basta che la forma sia il differenziale di qualche funzione, ovvero basta che esista $f\in \mathcal{C}^1$ tale che $\text{d}f=\omega$ e quindi che l'insieme sia semplicemente connesso o no conta solo quando vuoi sfruttare la chiusura (se non ricordo male il messaggio chiedeva qualcosa riguardo il legame tra esattezza e semplice connessione, correggimi se sbaglio).
La primitiva era quella che avevi scritto nel primo messaggio a meno di una costante. Inoltre nel messaggio precedente è $C_{y}=0$ da cui $C(y,z)=C(z)$, non che C è costante.
"Reyzet":
La primitiva era quella che avevi scritto nel primo messaggio a meno di una costante. Inoltre nel messaggio precedente è $ C_{y}=0 $ da cui $ C(y,z)=C(z) $, non che C è costante.
Ah, giusto.
Ma comunque la primitiva non si può calcolare, giusto?
Se trovo $ C_y = 0$, mi serve comunque che $ C(z) $ sia uguale a $ ln(x^2+y^2+z) $.
"maxira":
[quote="Reyzet"]La primitiva era quella che avevi scritto nel primo messaggio a meno di una costante. Inoltre nel messaggio precedente è $ C_{y}=0 $ da cui $ C(y,z)=C(z) $, non che C è costante.
Ah, giusto.
Ma comunque la primitiva non si può calcolare, giusto?
Se trovo $ C_y = 0$, mi serve comunque che $ C(z) $ sia uguale a $ ln(x^2+y^2+z) $.[/quote]
Sì, hai sbagliato il conto, si ha $U_{z}=log(x^2+y^2+z)+z/(x^2+y^2+x)+C_{z}$, uguagliando alla terza componente della forma ne viene che C non dipende neppure da z e quindi è una costante (unica grazie al fatto che l'insieme è connesso (per spezzate credo)) e allora il potenziale è quello che avevi scritto e quindi la forma è esatta per definizione, indipendentemente dalla semplice connessione del dominio
Finalmente ho capito, avevo sbagliato la derivata.
Resta quindi solo il punto 3: l'integrale di w esteso al segmento orientato i cui estremi sono nell'ordine (0; 0; 1) e (1; 0; 0).
L'equazione del segmento è:
$ s(t): { ( x=t ),( y=0 ),( z=1-t ):} $
Quindi devo solo risolvere questo integrale, giusto?
$ int_(s)^() w=int_(0)^(1) (2t(1-t))/(t^2+1-t)dt+int_(0)^(1) (1-t)/(t^2+1-t)dt + int_(0)^(1) ln(t^2+1-t)dt $
Resta quindi solo il punto 3: l'integrale di w esteso al segmento orientato i cui estremi sono nell'ordine (0; 0; 1) e (1; 0; 0).
L'equazione del segmento è:
$ s(t): { ( x=t ),( y=0 ),( z=1-t ):} $
Quindi devo solo risolvere questo integrale, giusto?
$ int_(s)^() w=int_(0)^(1) (2t(1-t))/(t^2+1-t)dt+int_(0)^(1) (1-t)/(t^2+1-t)dt + int_(0)^(1) ln(t^2+1-t)dt $
"maxira":
Finalmente ho capito, avevo sbagliato la derivata.
Resta quindi solo il punto 3: l'integrale di w esteso al segmento orientato i cui estremi sono nell'ordine (0; 0; 1) e (1; 0; 0).
L'equazione del segmento è:
$ s(t): { ( x=t ),( y=0 ),( z=1-t ):} $
Quindi devo solo risolvere questo integrale, giusto?
$ int_(s)^() w=int_(0)^(1) (2t(1-t))/(t^2+1-t)dt+int_(0)^(1) (1-t)/(t^2+1-t)dt + int_(0)^(1) ln(t^2+1-t)dt $
Sì, ma basta fare la differenza $U(1,0,0)-U(0,0,1)$ come avevi scritto all'inizio.
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