Studio di Estremi relativi in due variabili con modulo sotto radice

[Needtoknow]

Salve a tutti Sono una studentessa di Ingegneria e dopo aver cercato veramente ovunque (sottolineo ovunque su internet e libri che possiedo) di risolvere il mio dubbio esistenziale sullo studio degli estremi di una f(x,y) con modulo sotto radice, ho deciso di provare a chiedere, anche se potrei fare una figuraccia, la mia intenzione è quella di apprendere...riporto di seguito la funzione:

[formule]f(x,y)=(x^2+y^2-4)(sqrt|y|)[/formule]

Spero di averla scritta bene. Il dominio di f risulta continuo su tutto R^2 dato che il valore assoluto sotto radice assume sempre valori positivi. Il dominio delle derivate prima invece risulta per y diverso da zero (scusate non so come si scrive il latex, spero abbiate pazienza) perché non sarebbe altrimenti derivabile.
Dopo aver calcolato le derivate parziali prime e trovato i punti [formule](0;0) (0;-2/sqrt 5) (0;+2/sqrt5) [/formule] dato le condizioni iniziali, l'origine viene esclusa e gli altri punti studiati. Qua sorge il problema... ma dal momento che il punto [formule](0;-2/sqrt5)[/formule] appartiene all'asse negativo delle y io devo cambiare il segno della derivata prima rispetto ad y e sostituire x=0 e poi derivare di nuovo?..il problema è che non so come comportarmi con il valore assoluto che compare al denominatore perché sostituendo il punto mi verrebbe radice di un numero negativo... la mia domanda è: se considero negativo y per questo punto il valore assoluto al denominatore scompare? per agevolare i calcoli posso andare a considerare eventualmente solo il numeratore della derivata prima secondo y oppure no? o potrei studiare solo per y>0 e escludere y<0 dato che la derivata seconda viene con un numero negativo sotto radice?
Sarei infinitamente grata a chiunque mi aiuti con i passaggi dalle derivate seconde in poi...
Grazie in anticipo

[TonyCOD]

non ho ben capito cosa tu intenda, forse anche per la mancanza delle formule (si vedono strambe). Tu puoi studiare la funzione con l' Abs annesso che è una funzione come altre (derivando poi entra in gioco la funzione segno) oppure sfruttare la definzione di Abs ed usare quelle due funzioni che ti ho messo in immagine senza mischiarle nei processi di studio di funzione. Magari se nessun' altro risponde ti faccio un po di passaggi domani.

[Needtoknow]

mi scuso se non mi sono spiegata bene... La mia prof svolge questi esercizi sostituendo le coordinate del punto critico all'interno del valore assoluto per vedere se la condizione per la derivabilità viene rispettata.. Ora, la condizione è y diverso da zero per questi punti, io personalmente mi perdo quando devo scegliere la derivata cambiata di segno per y<0 perché non ha senso scrivere radice di -y... In sostanza non so come proseguire per le derivate seconde perche la prof a quel punto sceglie il segno da assegnare alla derivata prima secondo l'intervallo d'appartenenza..il problema sorge per y<0 data la presenza della radice..non so se mi sono spiegata è un po complicato da esporre forse dovrei studiare solo il numeratore in questo caso

[TonyCOD]

tu dici:
"non ha senso scrivere radice di -y"
se ci troviamo nel piano per cui y<0 ha senso eccome scrivere sqrt(-y) perchè il radicando sarà positivo. Esempio: avendo appunto sqrt(-y) nel punto (5,-3) questo diventa sqrt(-(-3))=sqrt(3)

[Needtoknow]

Quindi in pratica anche se ho nella derivata la radice di un numero negativo non fa niente perché studio per y<0? Secondo me non dovrebbe apparire proprio nell'esercizio