Studio di due serie divergenti
L'esercizio mi chiede di studiare il carattere delle due serie:
Sommatoria di n che va da 1 a +infinito di (e^(1/n)-1)
Sommatoria di n che va da 1 a +infinito di \(\displaystyle log(1+1/n) \)
Dice che sono divergenti ma a me viene che il loro limite risulta 0.. dunque non sono convergenti? Dove sbaglio?
Sommatoria di n che va da 1 a +infinito di (e^(1/n)-1)
Sommatoria di n che va da 1 a +infinito di \(\displaystyle log(1+1/n) \)
Dice che sono divergenti ma a me viene che il loro limite risulta 0.. dunque non sono convergenti? Dove sbaglio?
Risposte
anche se il limite della succesione nella sommatoria esite finito non significa che la serie converga, ad esempio
$\sum_{n>0} 1/n$
$1/n$ tende a 0, ma la serie diverge.
Per studiare le tue serie devi usare i criteri della radice o del rapporto, oppure trovare serie che siano minori delle tue di cui sei sicuro della divergenza.
prendi la prima
$\sum_{n>0} e^{1/n}-1$, possiamo utilizzare il fatto che $e^x-1\tilde$ $x$, allora la serie è asintotica a $\sum_{n>0} 1/n$, che diverge, analogo per la seconda
$\sum_{n>0} 1/n$
$1/n$ tende a 0, ma la serie diverge.
Per studiare le tue serie devi usare i criteri della radice o del rapporto, oppure trovare serie che siano minori delle tue di cui sei sicuro della divergenza.
prendi la prima
$\sum_{n>0} e^{1/n}-1$, possiamo utilizzare il fatto che $e^x-1\tilde$ $x$, allora la serie è asintotica a $\sum_{n>0} 1/n$, che diverge, analogo per la seconda
Grazie mille! 
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