Studio di continuità di una funzione (esercizio di esame)
Salve a tutti!
Ho un problema con lo studio di continuità di una funzione che ho sul testo dell'esame di matematica che ho dato ieri e probabilmente non ho passato. Il testo è il seguente:
$f(x)= {((e^tanx - 1)/(3sinx)) 0
il fatto è che quando vado a svolgere i limiti che tendono da $0^+$ e da $0^-$ il primo mi viene $0/0$ mentre il secondo mi viene 0. Ho provato anche a svolgere il primo con De L'Hopital ma viene una cosa lunghissima. Qualcuno ha la pazienza di spiegarmi come si fa? grazie
P.s. scusate ma non sono riuscito a mettere tutto sotto una graffa unica
Ho un problema con lo studio di continuità di una funzione che ho sul testo dell'esame di matematica che ho dato ieri e probabilmente non ho passato. Il testo è il seguente:
$f(x)= {((e^tanx - 1)/(3sinx)) 0
il fatto è che quando vado a svolgere i limiti che tendono da $0^+$ e da $0^-$ il primo mi viene $0/0$ mentre il secondo mi viene 0. Ho provato anche a svolgere il primo con De L'Hopital ma viene una cosa lunghissima. Qualcuno ha la pazienza di spiegarmi come si fa? grazie
P.s. scusate ma non sono riuscito a mettere tutto sotto una graffa unica
Risposte
Non è una forma indeterminata anche il secondo?
Io userei un po' di limiti notevoli per risolverli!
Io userei un po' di limiti notevoli per risolverli!
Se x tende a 0 allota $tan(x)$ tende a 0.
Ma tu sai che se x tende a 0 allora $(e^x-1)/x$ tende a 1 e più in generale
se f(x) tende a 0 allora $(e^(f(x))-1)/(f(x))$ tende a 1.
Quindi se dividi e moltiplichi il denominatore per cos(x) allora....
Ma tu sai che se x tende a 0 allora $(e^x-1)/x$ tende a 1 e più in generale
se f(x) tende a 0 allora $(e^(f(x))-1)/(f(x))$ tende a 1.
Quindi se dividi e moltiplichi il denominatore per cos(x) allora....
Per il secondo invece potrebbe andare
$log(cos^2 x)/(6-6 cosx)=log(1+(cos^2x -1))/(6(1-cosx))\sim (cos^2x - 1)/(6(1-cosx))$
$log(cos^2 x)/(6-6 cosx)=log(1+(cos^2x -1))/(6(1-cosx))\sim (cos^2x - 1)/(6(1-cosx))$
misanino adesso faccio una figuraccia
se $tanx$ tende a 0 $e^0$ non fa 1? e io quindi pensavo $(1-1)/1=0/1$ e quindi non mi viene
se $tanx$ tende a 0 $e^0$ non fa 1? e io quindi pensavo $(1-1)/1=0/1$ e quindi non mi viene
"robymar85":
misanino adesso faccio una figuraccia
se $tanx$ tende a 0 $e^0$ non fa 1? e io quindi pensavo $(1-1)/1=0/1$ e quindi non mi viene
E perchè a denominatore c'è 1?
$(e^tanx-1)/tanx$ tende a 1, per x che tende a 0
"misanino":
[quote="robymar85"]misanino adesso faccio una figuraccia
se $tanx$ tende a 0 $e^0$ non fa 1? e io quindi pensavo $(1-1)/1=0/1$ e quindi non mi viene
E perchè a denominatore c'è 1?[/quote]
no infatti mi sono sbagliato, come dicevo io usciva $(1-1)/(3sinx)$ dove secondo me senx = 0 quindi veniva $0/0$
"robymar85":
no infatti mi sono sbagliato, come dicevo io usciva $(1-1)/(3sinx)$ dove secondo me senx = 0 quindi veniva $0/0$
Ecco, appunto!
Quindi invece di fare così o cercare altre strade, prova a seguire la strada che ti ho indicato io.
Rileggi il mio post...
"Arado90":
$(e^tanx-1)/tanx$ tende a 1, per x che tende a 0
ma allora anche questo è un notevole? ma quanti cavolo di notevoli tocca sapere?
No beh, il limite notevole "ufficiale" è $(e^x-1)/x$
Ma ovviamente se l'esponente di "e", nel tuo caso, è "tanx", allora moltiplicando e dividendo per tanx puoi ricondurti a quel limite notevole
Ma ovviamente se l'esponente di "e", nel tuo caso, è "tanx", allora moltiplicando e dividendo per tanx puoi ricondurti a quel limite notevole
"robymar85":
ma allora anche questo è un notevole? ma quanti cavolo di notevoli tocca sapere?
Ma allora il mio post non l'hai riletto!
Se lo leggevi c'era scritto che i limiti notevoli non valgono solo se $x$ tende a 0, ma più ingenerale se $f(x)$ tende a 0!!
mi sono accorto ora che non aveva scritto il mio messaggio alla fine moltiplico e divido per cosx e mi viene $1/(e^tanx) 3tanx cosx$ però non so assolutamente come andare avanti
"robymar85":
mi sono accorto ora che non aveva scritto il mio messaggio alla fine moltiplico e divido per cosx e mi viene $1/(e^tanx) 3tanx cosx$ però non so assolutamente come andare avanti
Vedo che non hai capito nulla di ciò che ti ho detto.
Va bene allora.
Per questa volta ti posto tutti i cacoli, ma la prossima volta cerca di sforzarti un po' di più!
Devi calcolare $\lim_{x \to 0^+}(e^tanx - 1)/(3sinx)$
Dividiamo e moltiplichiamo il denominatore per $cos(x)$ e otteniamo:
$\lim_{x \to 0^+}(e^tanx - 1)/(3sinx/cosx*cos(x))=\lim_{x \to 0^+}(e^tanx - 1)/(3tanx*cos(x))=\lim_{x \to 0^+}(e^tanx - 1)/tanx*1/(3cos(x))$
Ora per quello che ti ho spiegato in uno dei post (vai a rivedertelo!!) si ha $\lim_{x \to 0^+}(e^tanx - 1)/tanx=1$ e poi sappiamo bene che $cos(0)=1$.
Perciò $\lim_{x \to 0^+}(e^tanx - 1)/tanx*1/(3cos(x))=1/3$
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