Studio di $arccos(g(x))$

[anto_zoolander]

Salve,

ho diciamo una perplessità su questa funzione.
Il problema che intendo risolvere è legato alla stretta decrescenza di $arccos(x)$

allora intanto è una composizione di funzioni, in particolare:

$f(x)=arccos(x),$ $f:[-1,1] -> [0,pi]$

$g(x)=(1-x^2)/(1+x^2),$ $f:R -> ]-1,1[$ (dimostrato in un esercizio postato l'altro ieri)

$z(x)=fcircg:R -> [0,pi],$ $fcircg: x|->arccos((1-x^2)/(1+x^2))$

ora, il problema è qui.
So che $z(x)
$arccos((1-x^2)/(1+x^2))=pi => (1-x^2)/(1+x^2)=-1 => 1-x^2=-1-x^2 => 2=0$ palesemente falso, quindi possiamo escludere dal dominio $pi$

$lim_(x->+infty)arccos((1-x^2)/(1+x^2))=lim_(x->+infty)arccos((x^2(1/x^2-1))/(x^2(1/x^2+1)))=lim_(x->+infty)arccos((1/(+infty)-1)/(1/(+infty)+1))=pi$

lo stesso vale per il caso $-infty$. Comunque adesso mi veniva richiesto di verificare che $SUP_(cod(z))=pi$

1. verifico che $pi$ è di accumulazione per $cod(z)$, verificato dal testo che dice sia $pi$ di acc. per $z(x)$
2. verifico $z(x) 3. verifico $z(x)>pi-varepsilon$ e l'intorno contenga almeno un punto.

2. $arccos((1-x^2)/(1+x^2))
essendo $arccos(x)$ strettamente decrescente, $forallx in]-1,1[$ ho che $z(x_1)>z(x_2) => x_1
$arccos((1-x^2)/(1+x^2)) (1-x^2)/(1+x^2)> -1 => 1-x^2> -1-x^2 => 2>0$ è corretto il passaggio?

[bosmer-votailprof]

Secondo me è tutto in regola.