Studio derivate prime parziali
Premetto che sono alle prime armi con lo studio di funzioni a più variabili.Mi chiedevo se studiando dove sono definite (il dominio) le derivate parziali di una funzione a più variabili posso dire,o comunque trarre informazioni,riguardo alla derivabilità o meno della funzione 
Risposte
per funzioni di più variabili, derivabilità significa esistenza delle derivate parziali, non differenziabilità (i due concetti sono invece coincidenti per funzioni di una sola variabile).
se ti riferivi alla differenziabilità (esistenza piano tangente): dal solo studio delle derivate parziali puoi dedurre che la funzione è differenziabile a patto che esse siano continue, ovvero che f sia C1 (corollario del t. del differenziale totale). questa è una condizione sufficiente, ma non necessaria.
se ti riferivi alla differenziabilità (esistenza piano tangente): dal solo studio delle derivate parziali puoi dedurre che la funzione è differenziabile a patto che esse siano continue, ovvero che f sia C1 (corollario del t. del differenziale totale). questa è una condizione sufficiente, ma non necessaria.
Intendevo proprio la derivabiltà,ad esempio dovendo studiare la derivabilità e la differenziabilità di questa funzione $f(x,y)=y(x+1)$ se $y!=0$
$f(x,y)=x^2$ se $y=0$
Trovo le derivate parziali rispetto ad $x$ ed $y$,che sono rispettivamente:
$(y;x+1)$ e $(2x;0$)
Il loro dominio non è limitato(è tutto $R^2$).Posso dire che la funzione $f(x,y)$ è sempre continua
Inoltre vedo che derivate parziali esistono e sono continue,quindi posso dire che differenziabile
$f(x,y)=x^2$ se $y=0$
Trovo le derivate parziali rispetto ad $x$ ed $y$,che sono rispettivamente:
$(y;x+1)$ e $(2x;0$)
Il loro dominio non è limitato(è tutto $R^2$).Posso dire che la funzione $f(x,y)$ è sempre continua
Inoltre vedo che derivate parziali esistono e sono continue,quindi posso dire che differenziabile
derivabilità non implica nè continuità nè differenziabilità. differenziabilità invece implica sia continuità che derivabilità.
ora sono un po' arrugginito, comunque il problema della differenziabilità nel tuo caso si pone lungo la retta x = 0 (asse y).
premesso che la derivata parziale rispetto ad x è y, e non 2y se il testo è riportato correttamente, a me non sembra che le derivate siano continue, perchè $ lim_(x to 0) f_x = lim_(x to 0) y = y ne 0$ in generale. questo non significa che la funzione non sia differenziabile, ma semplicemente che dovrai verificare ciò con la definizione
ora sono un po' arrugginito, comunque il problema della differenziabilità nel tuo caso si pone lungo la retta x = 0 (asse y).
premesso che la derivata parziale rispetto ad x è y, e non 2y se il testo è riportato correttamente, a me non sembra che le derivate siano continue, perchè $ lim_(x to 0) f_x = lim_(x to 0) y = y ne 0$ in generale. questo non significa che la funzione non sia differenziabile, ma semplicemente che dovrai verificare ciò con la definizione
Mi sono accorto di avere scritto male la funzione precedente,ora ho corretto infatti le condizioni erano $y!=0$ e $y=0$,non $x=0$,$x!=0$.
Ora credo di aver capito...Riguardo allo derivabilità allora dovrebbe andar bene se controllo l'esistenza delle derivate parziali e il loro dominio.Nel caso esistessero le derivate,posso dire che la funzione non è derivabile(quindi anche non differenziabile) nei punti fuori dal dominio delle derivate.
Ritornando all'esempio precedente quindi credo di poter dire che la funzione sia sempre derivabile,giusto?
Per la derivabiltà invece applico la formula facendo il limite per $y->0$ vedo che il risultato è infinito,quindi non è differenziabile nei punti che hano $y=0$
Ora credo di aver capito...Riguardo allo derivabilità allora dovrebbe andar bene se controllo l'esistenza delle derivate parziali e il loro dominio.Nel caso esistessero le derivate,posso dire che la funzione non è derivabile(quindi anche non differenziabile) nei punti fuori dal dominio delle derivate.
Ritornando all'esempio precedente quindi credo di poter dire che la funzione sia sempre derivabile,giusto?
Per la derivabiltà invece applico la formula facendo il limite per $y->0$ vedo che il risultato è infinito,quindi non è differenziabile nei punti che hano $y=0$
"One":
Ritornando all'esempio precedente quindi credo di poter dire che la funzione sia sempre derivabile,giusto?
sì
"One":
Per la derivabiltà invece applico la formula facendo il limite per y→0 vedo che il risultato è infinito,quindi non è differenziabile nei punti che hano y=0
ti ho scritto sopra che la condizione della continuità delle derivate è sufficiente, ma non necessaria. ergo, se le derivate non sono continue, l'unico modo per vedere se è differenziabile è usare la definizione
Ok.
Prima per "formula" intendevo quella delle differenziabilità della funzione in un punto.
Approfitto per chiedere un ultima cosa riguardo alla differenziabilità.Sò che se una funzione è Differenziabile$rArr$Continua e Derivabile, (considerando un punto),vorrei sapere se è vero anche li'inverso cioè Differenziabile$lArr$Continua e Derivabile
Quindi se è vero Differenziabile$hArr$Continua e Derivabile (Io credo di no ma non ne sono sicuro)
Grazie
Prima per "formula" intendevo quella delle differenziabilità della funzione in un punto.
Approfitto per chiedere un ultima cosa riguardo alla differenziabilità.Sò che se una funzione è Differenziabile$rArr$Continua e Derivabile, (considerando un punto),vorrei sapere se è vero anche li'inverso cioè Differenziabile$lArr$Continua e Derivabile
Quindi se è vero Differenziabile$hArr$Continua e Derivabile
(Io credo di no ma non ne sono sicuro)Grazie
no, ma forse se fai queste domande non hai ancora visto alcune cose di teoria, perchè sono risultati non difficili da dimostrare. addirittura ci sono esempi di funzioni continue e derivabili lungo qualunque direzione (quindi non "semplicemente" derivabili) che tuttavia non sono differenziabili.
quindi per rispondere alla domanda Differenziabile implica Continua e Derivabile, ma continua e derivabile non implica differenz.
quindi per rispondere alla domanda Differenziabile implica Continua e Derivabile, ma continua e derivabile non implica differenz.
Ho dato una ripassata alla teoria e mi sono tolto un po di dubbi....
Ora mi chiedo se vedere dove sono definite le derivate prime parziali,cioè il loro dominio,è un metodo sempre adatto per vedere se una funzione è derivabile
Ora mi chiedo se vedere dove sono definite le derivate prime parziali,cioè il loro dominio,è un metodo sempre adatto per vedere se una funzione è derivabile
guardati la definizione di derivabilità per funzioni di più variabili, comunque ti ho risposto anche sopra (guarda il mio primo post)
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