Studio derivata in $x_0$ ___ Equazione Esponenziale

[Danying]

Salve ;

desideravo un informazione quando facciamo il limite $ lim_(x to x_o^- )f^{\prime}(x)$ e $ lim_(x to x_0^+) f^{\prime}(x)$ e ci dà un egual valore sia da destra che da sinistra... cosa possiamo concludere ?

stavo svolgendo una semplicissima funzione:


$ 2^x-5^5$ cui derivata è $ 2^x log2-5^xlog5$ e i limiti (di $f'(x) $ )per l'unico punto di accumulazione $x=0$ da destra e da sinistra danno come risultato $ - log(5/2) $

[walter891]

In generale possiamo concludere che se la funzione è continua in $x_0$ allora è derivabile
però non capisco come vuoi usarlo sulla tua funzione

[Danying]

"walter89":In generale possiamo concludere che se la funzione è continua in $x_0$ allora è derivabile
però non capisco come vuoi usarlo sulla tua funzione

in $x=0$ vi è un punto in cui la funzione si annulla no ?


e volevo studiare semplicemente la derivata in quel punto .... che mi da come risultato il logaritmo sopracitato

allora ....$- log (5/2) $ rappresenta semplicemente un valore della derivata nel punto $x_0= 0$ ??

[gugo82]

Che bisogno c'è di prendere i limiti?
La derivata è continua in [tex]$0$[/tex].

[Danying]

"gugo82":Che bisogno c'è di prendere i limiti?
La derivata è continua in [tex]$0$[/tex].

vero!

pensavo che siccome la funzione non è continua in $x_0=0$ fosse lecito analizzare la derivata in quel punto ;

ma forse sbaglio perchè la funzione è continua e per $x=0$ $y=0$ la funzione è continua e vale zero. se è così non ha senso ricercare punti di non derivabilità che non esistono....


Riguardo invece la ricerca di un punto "critico" ovvero dove $f^{\prime}(x)=0$ ho un equazione un pò strana a mio modo di vedere.

$ 2^xlog2-5^xlog5=0$ questa equazione per quale x si verifica?

negli appunti ho trovato che l'equazione è verificata per $(5/2)^x$ ( che non capisco bene perchè) io pensavo così $x= - log5/log2$ ??

os che è sbagliato perchè il risultato è $ x= [log2/log5]/log(5/2)$


ps: sulle disequazioni/equazioni di questo genere al momento non sono molto abile .... soprattutto come approccio teorico, sarei grato se qualcuno mi spiegasse ( se può)

grazie mille per le delucidazioni.

[dissonance]

"mat100":pensavo che siccome la funzione non è continua in $x_0=0$ fosse lecito

Ma come non è continua in $0$, mat??? Come ti è venuta questa idea?

[Mathcrazy]

Ciao mat;
la funzione [tex]$f(x)= 2^x-5^x$[/tex], come hai tu stesso sottolineato passa per il punto [tex]$(0,0)$[/tex] (che d'altronde rappresenta l'unico punto d'intersezione con i due assi),quindi in tal punto la funzione è continua; tuttavia non è detto a priori che sia un punto derivabile.
Infatti un teorema ci dice che se una funzione è derivabile in un punto, sarà anche continua in quel punto; ma non è sempre vero il viceversa.
Cioè se una funzione è continua in un punto non è detto che in quel punto sia anche derivabile; quindi la verifica va' fatta!!

L'equazione [tex]$2^x log(2)-5^x log(5) = 0$[/tex] puoi ovviamente scriverla, in questo modo:

[tex]$2^x \log{2} = 5^x \log{5} $[/tex]

Facendo un po di passaggi di termini:

[tex]$\left(\frac{5}{2}\right)^{x} = \frac{\log{2}}{\log{5}}$[/tex]

cioè:

[tex]$x = \frac{(\log({\log{5})}-\log{(\log{2})})}{(\log{(2)}-\log{(5)})}$[/tex]

Poi volendo puoi anche aggiustartela applicando una proprietà dei logaritmi; ma forse non ti conviene così tanto.!

Se vuoi farti una piccola ripetizione sui logaritmi e le loro proprietà, ti rimando ad un mio vecchio post in cui dimostrai anche queste proprietà (apri lo spoiler per vederlo!):

....semplicemente devi sapere che il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale.
Cioè,detto in termini banali, il logaritmo in base $a$ di $b$, ti dà l'esponente che devi dare ad $a$ per ottenere $b$.
Rifletti infatti sulla scrittura: $AA b>0$ $:$ $log_a b = c hArr a^c=b$

Ovviamente ora cerco di darti la definizione più corretta e completa:

Sia $a in R$ ; $a > o$ ; $a!=1$*.
Si chiama logaritmo di base $a$, l'inversa della funzione esponenziale di base $a$.
La funzione logaritmica possiamo quindi definirla così:
$(f_a)^-1$ $:$ $]0,+oo) -> R$ ;
dove $f_a$ è,evidentemente, la funzione esponenziale di base $a$.

oppure:

$log_a$ $:$ $]0,+oo) -> R$.

ma come opera questa funzione?
Bè te lo già detto su, mi ripeto per essere chiaro:
$AA b>0$ $:$ $log_a b = c hArr a^c=b$.

Spero che ora ti sia chiaro per quale motivo $log_a a = 1!$
Proprio perchè $log_a a = x hArr a^x=a hArr x=1 $
------

Un' osservazione importante è che la funzione logaritmica è un funzione strettamente monotona poichè è l'inversa della funzione esponenziale che, in effetti, è strettamente monotona!
In particolare ricorda di distinguere due casi:
Se $a>1$ $rArr$ $log_a$ è strettamente crescente.
Se $0

PROPRIETA':
Le proprietà principali sono 4: [Dimostrazioni **]

1) $log_a b*c = log_a b + log_a c$

2) $log_a (b/c) = log_a b - log_a c$

3) $log_a b^c = c*log_a b$

4) $log_a root(n) (a^m) = (n/m)*log_a b$
---

Una formula, molto utile, è quella relativa al cambio di base.
Con essa puoi passare da una base $a$ ad una qualsiasi altra base $c$:

$log_a b = (log_c b)/(log_c a)$

[Dimostrazione: ***]




_______________________________________________________

* Si impone $a!=1$ solo per escludere un caso particolare in cui abbiamo una funzione costante; poiche $log_1 x = c hArr 1^c = x rArr x = 1$

**Dimostrazioni delle proprietà:

1)
Poniamo $log_a b = x$ e $log_a c = y$
Applicando la definizione di logaritmo abbiamo che:
$a^x = b$
$a^y = c$

Moltiplichiamo membro a membro così da ottenere:
$a^x*a^y = b*c hArr a^(x+y) = b*c $

Applichiamo la proprietà delle potenze:
$ a^(x+y) = b*c hArr log_a b*c = x+y $

Sostituiamo ad $x$ e $y$ quanto avevamo imposto all'inizio e arriviamo alla proprietà:
$log_a b*c = log_a b + log_a c$

2) Simile in tutto e per tutto alla prima.

3) Poniamo $log_a b = x$
e consideriamo questa espressione:
$a^x = b$

eleviamo ambo i membri per $c$:
$(a^x)^c = b^c hArr a^(xc) = b^c $

Passiamo ai logaritmi:
$log_a b^c = c*x$

Basta ora ricordarsi che $log_a b = x$, per cui:
$log_a b^c = c*log_a b$

4) Deriva dalla proprietà 3).
Infatti basta osservare che:
$log_a root(n) (a^m) = log_a b^(n/m) = (n/m)*log_a $



*** Dimostrazione formula cambio base:

Poniamo $log_c b = x$ [(1)] e $log_a b = y$ [(2)]

Dalla (2) otteniamo che: $a^y=b$

Sostituiamo nella (1) così da ottenere:
$log_c b = x hArr log_c a^y = x$; applichiamo la terza proprietà sui logaritmi:

$y*log_c a = log_c b hArr y = (log_c b)/(log_c a)$

Quindi:
$log_a b = (log_c b)/(log_c a)$

[Danying]

"dissonance":Ma come non è continua in $0$, mat??? Come ti è venuta questa idea?

infatti ho detto una cosa che non sta ne in cielo ne in terra!

"Mathcrazy":

[tex]$2^x \log{2} = 5^x \log{5} $[/tex]

Facendo un po di passaggi di termini:

[tex]$\left(\frac{5}{2}\right)^{x} = \frac{\log{2}}{\log{5}}$[/tex]


cioè:

[tex]$x = \frac{(\log({\log{5})}-\log{(\log{2})})}{(\log{(2)}-\log{(5)})}$[/tex]

grazie delle risposte;

Mathcrazy, nello specifico conosco tutte le proprietà dei logaritmi.....

quello che volevo analizzare ed a cui non sono arrivato .... erano questi "passaggini di termini" ....

te ne sarei grato se li postassi !

grazie ancora
Cordiali Saluti

[Mathcrazy]

Ok allora te li scrivo passo passo :

Partiamo dall'equazione:

[tex]$2^x \log{(2)}-5^x \log{(5)} = 0$[/tex]

Sommiamo algebricamente entrambi i membri per [tex]$+ 5^x \log{(5)}$[/tex]; otteniamo:

[tex]$2^x \log{(2)}-5^x \log{(5)} +5^x \log{(5)} = 5^x \log{(5)}$[/tex]

cioè:

[tex]$2^x \log{(2)} = 5^x \log{(5)} $[/tex]

Divido i due membri per [tex]$5^x$[/tex] :

[tex]$ \frac{2^x}{5^x} \log{(2)} = \log{(5)} $[/tex]

Divido i due membri per [tex]$\log{(2)}$[/tex]:

[tex]$ \frac{2^x}{5^x} = \frac{\log{(5)}}{\log{(2)}} $[/tex]

Per il primo membro, ricordati la proprietà: [tex]$\frac{a^x}{b^x}= \left(\frac{a}{b}\right)^x$[/tex] per cui:

[tex]$ \left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{\log{(5)}}{\log{(2)}} $[/tex]

tutto qui!!!

[Danying]

"Mathcrazy":Ok allora te li scrivo passo passo :

Partiamo dall'equazione:

[tex]$2^x \log{(2)}-5^x \log{(5)} = 0$[/tex]

Sommiamo algebricamente entrambi i membri per [tex]$+ 5^x \log{(5)}$[/tex]; otteniamo:

[tex]$2^x \log{(2)}-5^x \log{(5)} +5^x \log{(5)} = 5^x \log{(5)}$[/tex]

cioè:

[tex]$2^x \log{(2)} = 5^x \log{(5)} $[/tex]

Math come al solito spiegazione Perfetta!

ma una domanda c'era bisogno per forza di sommare algebricamente per $ 5^x \log(5)$ ?? non si poteva fare semplicemente spostando il secondo membro dall'altra parte ?


ed un altra domanda :

la forma $ (2/5)^x= log5/log2$ non ci dà la $x$ per cui la nostra equazione vale zero :

sicuramente sarà una banalitià ma io pensavo che la x sarebbe stata : $x= (log5/log2) / log(2/5) $ invece non centra niente cè la funzione al secondo membro ribaltata $ log2/log5$; e poi $(2/5)^x$ trasformato in $log (5/2)$

ma $a^x= log_a x ?$ con $a= 2/5$ !

ecco...come devo ragionare in questo caso per estrapolare la x


grazie mille,

[Mathcrazy]

ma una domanda c'era bisogno per forza di sommare algebricamente per $ 5^x \log(5)$ ?? non si poteva fare semplicemente spostando il secondo membro dall'altra parte ?

E' cosa significa "spostare"?
Ti dico un segreto: in un'uguaglianza non puoi spostare un bel niente da un membro all'altro!!
Quando tu "sposti" un termine dal primo membro al secondo, non fai altro che "saltare" il passaggio di somma algebrica, nel senso che lo dai per sottointeso; ma comunque c'è...L'effetto di questa somma algebrica sembra quello di uno spostamento, ma non è propriamente uno spostamento.
Cioè se io ho questa banalissima uguaglianza:

[tex]$a+b = 0$[/tex].

Se voglio portare la [tex]$b$[/tex] al secondo membro, devo sommare algebricamente entrambi i membri per [tex]$-b$[/tex] :

[tex]$a+b-b = -b$[/tex]

Cioè:

[tex]$a = -b$[/tex]

Come vedi, sembra proprio uno spostamento (anche se il segno è cambiato!).. Sappi che in ambito universitario alcuni professori reputano qualificante un espressione del genere.

"mat100":
ed un altra domanda :

la forma $ (2/5)^x= log5/log2$ non ci dà la $x$ per cui la nostra equazione vale zero :

sicuramente sarà una banalitià ma io pensavo che la x sarebbe stata : $x= (log5/log2) / log(2/5) $ invece non centra niente cè la funzione al secondo membro ribaltata $ log2/log5$; e poi $(2/5)^x$ trasformato in $log (5/2)$

ma $a^x= log_a x ?$ con $a= 2/5$ !

ecco...come devo ragionare in questo caso per estrapolare la x


grazie mille,

Sinceramente, pur avendo letto due o tre volte questo messaggio, faccio fatica a capire cosa ti turba!!
Forse ti conviene ripetere le proprietà dei log e la formula del cambio base. Trovi tutto nel mio post precedente, oppure spiegati meglio!

[Danying]

"Mathcrazy":

Sinceramente, pur avendo letto due o tre volte questo messaggio, faccio fatica a capire cosa ti turba!!
Forse ti conviene ripetere le proprietà dei log e la formula del cambio base. Trovi tutto nel mio post precedente, oppure spiegati meglio!

da quì $ (2/5)^x= log5/log2$ a trovare la $x$ ... il procedimento !!!


hai spiegato benissimo come si arriva a questa forma ed ho capito in un battibaleno ...,ora, non capsco come si arrivava alla x da questa forma , dove vi è presenta sia esponenziale che log :


spero sia stato più chiaro adesso!

thkx