Studio derivata

[cristian.vitali.102]

salve, mi sto preparando per l esame di analisi 1.
negli esercizi sullo studio di funzione spesso mi capitano derivate abbastanza difficili, cioe per trovare dove essa si annulla devo utilizzare il teorema degli zeri.
il teorema però asserisce che esiste almeno uno zero, ma non sappiamo quanti..

ad esempio in questa derivata:

$d/dx(x cos^(-1)((x-1)/x)) = cos^(-1)((x-1)/x)-((1-(x-1)/x))/sqrt(1-(x-1)^2/x^2)$

ce un modo per capire a priori in quali intervalli potrebbe annullarsi, o devo cercare manualmente ogni intervallo $[a,b]$ tale che $f(a)f(b)<0$?

[wanderer1]

Ciao,
allora, penso proprio che non si possano trovare gli zeri di questa derivata analiticamente. Però possiamo trovare l'intervallo (piccolo) in cui essa si annulla, senza fare tentativi a mano (usando il teorema degli zeri, il teorema di Lagrange e il teorema di Rolle). Allora abbiamo:

$f(x) = x arccos(\frac{x-1}{x})$, continua e derivabile per $x>1/2$

$f'(x) = arccos(\frac{x-1}{x})-\frac{1}{\sqrt(2x-1)}$

$f''(x) = \frac{1-x}{x (2x-1)^{3/2}}$


Notiamo un po' di cose:

1) $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$

2) per $x=1$ abbiamo $f'(x)>0$ e $f''(x)=0$

3) per $x > 1$, $f''(x)<0$

4) per $1/20$

5) $\lim_{x \to (1/2)^{+}} f'(x) = -\infty$


Quindi, dai primi 3 punti di cui sopra, per il teorema di Lagrange\Rolle, ne consegue che \(\nexists \ x \in (1, +\infty) :\ f'(x) = 0\)

Infatti se $f'(x)$ avesse più di uno zero in $(1, +\infty)$, per il teorema di Rolle, ci aspetteremmo l'esistenza di una $c$ per cui $f''(c)=0$; invece, se ne avesse solo uno zero in quell'intervallo (e quindi tendesse a $0^{-}$), ci aspetteremmo, per il teorema di Lagrange e la definizione di limite, una $c$ per cui $f''(c)>0$. Ma entrambe queste situazioni sono impossibili, visto che la derivata seconda è strettamente negativa in questo intervallo.

Invece, dai punti 2-4-5 , per il teorema di Rolle e quell0 degli zeri, ne consegue che \(\exists! \ x \in (\frac{1}{2}, 1) : \ f'(x) = 0\)

Infatti il teorema degli zeri ci dice che nell'intervallo \([\frac{1}{2}+\epsilon, 1]\) ci deve essere almeno un 0 di $f'(x)$, ma se ce ne fossero più di uno, per il teorema di Rolle, ci aspetteremmo l'esistenza di una \(c \in (\frac{1}{2},1)\) per cui $f''(c)=0$, ma non è così visto che la derivata seconda è strettamente positiva in questo intervallo


Ovvero, esiste una sola $x$, compresa in \((\frac{1}{2},1)\), che annulla la derivata prima di $f(x)$


Anche se su alcuni passaggi sono stato un po' sbrigativo, spero di essere stato abbastanza chiaro

[cristian.vitali.102]

si chiarissimo grazie mille