Studio derivabilità funzione due varabili con definizione o derivando direttamente?

[marsluca7]

Buonasera, mi è capitato un esercizio in cui mi viene chiesto lo studio della derivabilità della seguente funzione nel punto (0, 0):

$ f(x,y)=sqrt(x^2+y^4) $

Nel caso in cui provassi a derivare direttamente otterrei:

$ fx(x,y)=(2x)/(2*sqrt(x^2+y^4)) $

$ fy(x,y)=(4y^3)/(2*sqrt(x^2+y^4)) $

E apparentemente mi sembrerebbe derivabile ovunque o mi sbaglio? Ma suppongo questo sia solo un metodo di calcolo
generico e per studiare la derivabilità della funzione in un dato punto devo procedere con la definizione:

$ fx(0,0)= lim_(h -> 0) (f(h, 0) - f(0, 0))/(h) = 1 $

$ fy(0,0)= lim_(k -> 0) (f(0, k) - f(0, 0))/(k) = 0 $

Dato che i limiti restituiscono valori reali la funzione non dovrebbe essere derivabile sia per x che per y?
Nella soluzione del mio prof è citata la seguente soluzione nettamente in contrasto con quanto detto:
[f non è derivabile né differenziabile in (0, 0); in particolare non esiste f x (0, 0), mentre f y (0, 0) = 0)]

[Mephlip]

Le regole di derivazione valgono quando sai già che la funzione è derivabile, servono per non usare la definizione ogni volta; quindi l'approccio con le regole di derivazione è sbagliato.
Visto che stai studiando la derivabilità nell'origine, devi procedere con la definizione.
Calcola per bene $f_x(0,0)$, il limite è sbagliato (scrivi tutti i passaggi possibilmente).
Mi sento di consigliarti, a seguito di questa affermazione

"Luk_3D":Dato che i limiti restituiscono valori reali la funzione non dovrebbe essere derivabile sia per x che per y?

di sospendere momentaneamente lo studio della derivabilità in più variabili e di capirla bene in una variabile.

[marsluca7]

Dopo aver rifatto lo stesso limite decine di volte ottenendo lo stesso risultato credo che il problema dietro sia di natura concettuale e non algebrica:

$ fx(0,0)=lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/(h)=lim_(h->0)(sqrt(h^2+0)-0)/(h)=lim_(h->0)h/h=1 $

Per quanto riguarda la seguente affermazione mi sono unicamente basato su ciò che è riportato nella definizione di derivata parziale presente nei miei appunti.

Dato che i limiti restituiscono valori reali la funzione non dovrebbe essere derivabile sia per x che per y?

Ovvero:
"Diremo che la funzione è derivabile parzialmente rispetto ad x nel punto $ (x_0, y_0) $ se esiste finito il limite in una variabile:"

$fx(0,0)=lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/(h)$

[Mephlip]

Sicuro che $\sqrt{h^2+0}=h$?
La definizione che hai riportato è corretta, ma quand'è che un limite esiste?
La risposta alla seconda domanda la puoi ottenere dopo aver risposto alla prima

[marsluca7]

Grazie mille della risposta.
Ho appena riscoperto, che $sqrt(h^2) = |h|$, vabbè meglio tardi che mai :/
Dunque avrei:

$ fx(0, 0) = lim_(h->0) (|h|)/(h) $

Che svolgendo i calcoli avremo:

$ fx(0, 0 ) = { ( lim_(h->0) h/h=1) ,( lim_(h->0) -h/h=-1 ):} $

Rispettivamente per $ h > 0 $ e $ h < 0 $
Di conseguenza dato abbiamo due limiti diversi il limite non esiste.
Non credo di essere stato troppo rigoroso nell'ultima parte ma in sommi capi è questo il succo.

[Mephlip]

Prego! Giusto, il senso è quello.
Non esistendo $f_x(0,0)$, non c'è speranza che la funzione sia differenziabile in $(0,0)$.