Studio dell'integrale improprio di seconda specie

[Zero93]

Salve a tutti, ragazzi, scrivo nel tentativo di risolvere un esercizio che mi tiene bloccato ormai da più di un giorno e che mi sta facendo impazzire.
Devo studiare la convergenza del seguente integrale
$ int_(0)^(1) (1-ln(x))/sqrt(x+1) dx $
e successivamente calcolarlo; vi propongo il mio approccio:
- osservo che la funzione integranda $ f(x) $ è definita in ]0;1] e che ha segno costante positivo in questo intervallo, quindi studiarla così com'è o in valore assoluto non fa alcuna differenza;
- noto che è asintotica alla funzione $ g(x)=-ln(x) $ in quanto $ lim_(x -> {:0:}_(\ \ )^(+) $ $ f(x)/g(x)=1 $ ;
- applico a quest'ultima il criterio dell'ordine dell'infinito individuando un infinito campione, per $ xrarr {:0:}_(\ \ )^(+) $ , di ordine inferiore a 1 che sia comunque di ordine superiore a $ g(x) $ , e scelgo $ h(x) = 1/sqrt(x) $ ;
- $ int_(0)^(1) h(x) dx $ converge per $ xrarr {:0:}_(\ \ )^(+) $, quindi lo fa anche $ int_(0)^(1) g(x) dx $ e, a sua volta, $ int_(0)^(1) f(x) dx $ che le è asintotica.

Tuttavia, quando passo al calcolo dell'integrale di partenza, ottengo una divergenza negativa. Non riesco proprio a spiegarmelo, ma sono convinto di stare commettendo qualche grave errore, e il non riuscire ad individuarlo mi infastidisce molto.
Vi ringrazio per la cortese attenzione e per ogni eventuale risposta.

[Zero93]

Dopo un bel po' di tempo non sono ancora in grado di capire dove sbaglio. Faccio un up nella speranza che qualche anima pia riesca a smuovermi.

[SaraSueEss]

$\int_0^1(1-ln(x))/sqrt(1+x)dx$

$\int(1-ln(x))/sqrt(1+x)dx$ $=$ $\int 1/sqrt(1+x)dx$ $-$ $\intln(x)/sqrt(1+x)dx$

Per il primo dei due applico: $\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx$ $=$ $[int f(y)dy]_{y=\varphi(x)}$

in questo caso $f(y) = 1/sqrty$ e $\varphi(x)=1+x$

quindi $\int 1/sqrt(1+x)dx$ $=$ $int 1/sqrty dy$ $=$ $[2sqrty]_{y=1+x}$ $=$ $2sqrt(1+x)$

Il secondo si fa per parti

$\intln(x)/sqrt(1+x)dx$ $=$ $int ln(x)*(2sqrt(x+1))'dx$

$=$ $ln(x)*2sqrt(x+1) - int 1/x*2sqrt(x+1)dx$ $=$ $ln(x)*2sqrt(x+1) - 2int sqrt(x+1)/xdx$

a questo punto io risolverei $int sqrt(x+1)/xdx$ con questa sostituzione: $1+x =t^2$

$=>$ $int sqrt(x+1)/xdx$ $=$ $int t^2/(t^2-1)2tdt$ $=$ $2intt^3/((t+1)(t-1))dt$ che si può scomporre con $\text{Hermite}$

Alla fine, ovviamente si ricompongono tutti i pezzi

[Zero93]

Ti ringrazio per la celere risposta, noto con piacere che almeno risolvo l'integrale correttamente (a proposito, credo che nell'ultima parte ti sia sfuggita una t di troppo).
Tuttavia, dopo aver ottenuto il risultato di
$ 6sqrt(x+1)-4tanh^(-1)(sqrt(x+1))+2sqrt(x+1)ln(x)+c $
come primitiva dell'integrale, quando eseguo il calcolo del limite
$ lim_(h -> 0^(+))[6sqrt(x+1)-4tanh^(-1)(sqrt(x+1))+2sqrt(x+1)ln(x)]{::}_(\h)^(1) $
ottengo una divergenza negativa, che è poi assurdo dal momento che la funzione integranda è definita positiva in ]0;1].
Non riesco a venirne a capo.