Studio delle singolarità - Riemann

[pippo14]

Ciao,

non riesco a capire come risolvere questo esercizio :

Studiare le singolarità, al finito e all'infinito della funzione :
$f(z) = ( z^2 -1)/ sin^2(\pi z) + 1/(\pi^2 z^2)$

riuscireste ad aiutarmi e a dirmi un procedimento generale?

[gugo82]

Il libro che dice?

[pippo14]

E' un tema d'esame.

Però non riesco a trovare esercizi che mi spieghino bene nei passaggi cosa fare.

[gugo82]

Guarda bene la tua funzione.
Essa è somma di rapporti di funzioni intere; quindi le sue singolarità si trovano:

[*:23pstglz] al finito, negli zeri dei denominatori non compensati (nel senso dell'ordine) da zeri dei corrispondenti numeratori;

[/*:m:23pstglz]
[*:23pstglz] all'infinito.[/*:m:23pstglz][/list:u:23pstglz]
Dato che:
\[
f(z) = \underbrace{\frac{ z^2 -1}{\sin^2(\pi z)}}_{=:f_1(z)} + \underbrace{\frac{1}{\pi^2 z^2}}_{=:f_2(z)}\; ,
\]
la \(f_1\) ha denominatore \(\sin^2(\pi z)\) che si annulla nei punti della famiglia:
\[
z_k = k,\qquad k\in \mathbb{Z}
\]
ed ha in tali punti zeri d'ordine $2$, e numeratore \(z^2-1\) che si annulla in \(z_{\pm1}=\pm 1\) ed ha zeri d'ordine \(1\); d'altra parte, la $f_2$ ha denominatore \(\pi^2 z^2\) che si annulla in \(z_0=0\) con zero d'ordine $2$.
Ne viene che i punti del tipo \(z_k\) con \(k\in \mathbb{Z}\) sono tutti singolari per $f$ (in quanto sono singolari per $f_1$ o per $f_2$).
In particolare, si può già dire che i punti \(z_{\pm 1}\) sono poli del primo ordine, mentre i punti del tipo \(z_k\) con \(k\neq 0,\pm 1\) sono poli d'ordine due.
Rimane da capire cosa succede in \(z_0=0\) che è un polo d'ordine due per entrambe $f_1$ ed $f_2$.
Si ha:
\[
\begin{split}
f(z) &= \frac{z^2}{\sin^2 (\pi z)} - \frac{1}{\sin^2(\pi z)} + \frac{1}{\pi^2 z^2}\\
&= \underbrace{\frac{z^2}{\sin^2 (\pi z)}}_{=:g_1(z)} + \underbrace{\frac{\sin^2 (\pi z) - \pi^2 z^2}{\pi^2 z^2\ \sin^2(\pi z)}}_{=:g_2(z)}
\end{split}
\]
e, usando i limiti notevoli, si vede che $g_1$ ha una singolarità eliminabile in $z_0=0$; d'altra parte, usando gli sviluppi di Taylor si vede che:
\[
g_2(z) = \frac{-\frac{\pi^4}{3} z^4 + \text{o}\big( z^4\big)}{\pi^4 z^4 + \text{o}\big( z^4\big)}
\]
cosicché pure \(g_2\) ha una singolarità eliminabile in \(z_0=0\).
Pertanto $f$ ha una singolarità eliminabile in \(z_0=0\).

D'altra parte, la singolarità in $\infty$ non è isolata (perché gli altri punti singolari formano una successione bilatera divergente, dunque si accumulano intorno a \(\infty\)) e perciò non è classificabile.

Riassumendo:


[*:23pstglz] i punti \(z_{\pm 1} = \pm 1\) sono poli del primo ordine per $f$;

[/*:m:23pstglz]
[*:23pstglz] i punti \(z_k=k\) con \(k\in \mathbb{Z}\setminus \{0,\pm 1\}\) sono poli del secondo ordine per $f$;

[/*:m:23pstglz]
[*:23pstglz] il punto \(z_0=0\) è una singolarità eliminabile per $f$;

[/*:m:23pstglz]
[*:23pstglz] il punto \(z_\infty = \infty\) è una singolarità non isolata e non classificabile per $f$.[/*:m:23pstglz][/list:u:23pstglz]