Studio delle serie
Ragazzi il 16 ho il compito di ANALISI 1 e sono nella disperazione totale. Avete qualche testo universitario da consigliarmi che sia chiaro nella spiegazione e che allo stesso tempo abbia al suo interno esercizi belli tosti sullo studio delle serie?
Inoltre vi posto questo esercizio svolto che proprio non sono riuscito a capire (il metodo utilizzato nella risoluzione è quello del confronto di Gauss)
$sum_(n=1)^oo=arctan (1/(n^2 +n+1))$
Allora, ditemi se è giusto il procedimento che seguo:
1) Per prima cosa verifico la positività dei termini. In questo caso l'arcotangente per argomenti positivi risulta essere positivo.
2) Calcolo il limite per n che tende a infinito della successione. In questo caso viene 0 (condizione NECESSARIA ma NON SUFFICIENTE affinchè una serie converga). Se tale limite fosse venuto un numero diverso da 0 allora la serie divergeva. [domanda: se veniva invece infinito o meno infinito? Non si poteva dire nulla della serie?]
3) a questo punto applico uno dei teoremi che ho a disposizione per studiare il comportamento della mia serie. Ora, l'esercizio è sul teorema del confronto quindi so' già quale devo applicare. [domanda: ci sono delle pseudo regole che mi permettano di stabilire quale criterio adoperare?].
Adesso arriva la parte che proprio non riesco a capire e che vi copio pari passo dal libro da cui è tratto l'esercizio:
Avendosi per ogni n:
$0 < 1/(n^2 +n+1)<1$ --> $0
e, limitandoci a prendere in considerazione gli archi contenuti nel primo quadrante, risulta
$arctan (1/(n^2 +n+1)) < 1/(n^2 +n+1) < 1/n^2$
dunque, la serie data converge perchè maggiorata da una serie convergente.
L'ultima parte mi è chiara, perchè per il teorema del confronto sappiamo che la serie 1 su n^2 (serie armonica generalizzata) per valori di esponente maggiori di 1 converge. Quindi poichè la serie maggiorante converge, quella minorante a sua volta converge. Però non riesco a capire con che ragionamento afferma che l'arcotangente di un argomento è sicuramente minore dell'argomento stesso.
Sò che mi sono dilungato molto, ma conto davvero sul vostro aiuto. Vorrei riuscire a fare un buon esame di analisi e ho assolutamente bisogno della mano di qualcuno che abbia un briciolo di pazienza e di bontà per rispondermi.
Grazie in anticipo a chiunque abbia voglia di chiarire i miei dubbi. Buon anno a tutti.
Betto.
Inoltre vi posto questo esercizio svolto che proprio non sono riuscito a capire (il metodo utilizzato nella risoluzione è quello del confronto di Gauss)
$sum_(n=1)^oo=arctan (1/(n^2 +n+1))$
Allora, ditemi se è giusto il procedimento che seguo:
1) Per prima cosa verifico la positività dei termini. In questo caso l'arcotangente per argomenti positivi risulta essere positivo.
2) Calcolo il limite per n che tende a infinito della successione. In questo caso viene 0 (condizione NECESSARIA ma NON SUFFICIENTE affinchè una serie converga). Se tale limite fosse venuto un numero diverso da 0 allora la serie divergeva. [domanda: se veniva invece infinito o meno infinito? Non si poteva dire nulla della serie?]
3) a questo punto applico uno dei teoremi che ho a disposizione per studiare il comportamento della mia serie. Ora, l'esercizio è sul teorema del confronto quindi so' già quale devo applicare. [domanda: ci sono delle pseudo regole che mi permettano di stabilire quale criterio adoperare?].
Adesso arriva la parte che proprio non riesco a capire e che vi copio pari passo dal libro da cui è tratto l'esercizio:
Avendosi per ogni n:
$0 < 1/(n^2 +n+1)<1$ --> $0
e, limitandoci a prendere in considerazione gli archi contenuti nel primo quadrante, risulta
$arctan (1/(n^2 +n+1)) < 1/(n^2 +n+1) < 1/n^2$
dunque, la serie data converge perchè maggiorata da una serie convergente.
L'ultima parte mi è chiara, perchè per il teorema del confronto sappiamo che la serie 1 su n^2 (serie armonica generalizzata) per valori di esponente maggiori di 1 converge. Quindi poichè la serie maggiorante converge, quella minorante a sua volta converge. Però non riesco a capire con che ragionamento afferma che l'arcotangente di un argomento è sicuramente minore dell'argomento stesso.
Sò che mi sono dilungato molto, ma conto davvero sul vostro aiuto. Vorrei riuscire a fare un buon esame di analisi e ho assolutamente bisogno della mano di qualcuno che abbia un briciolo di pazienza e di bontà per rispondermi.
Grazie in anticipo a chiunque abbia voglia di chiarire i miei dubbi. Buon anno a tutti.
Betto.
Risposte
Secondo me se applichi il teorema del confronto "classico" la maggior parte delle volte ti fai proprio del male.
Ti consiglio invece di applicare il criterio del confronto asintotico.
Quindi dopo aver verificato che la funzione sia a termini positivi e sia infinitesima, provi a vedere se converge usando questo criterio.
Usando lo sviluppo noto di MacLaurin per la funzione $\text{arctg}(x): x\to0$
Si ha che :
$\text{arctg}(x)=x+o(x)$ e quindi ponendo $x=1/(n^2 +n+1)$ si ha che:
$\text{arctg}(1/(n^2 +n+1))=1/(n^2 +n+1)+o(1/n^2)$
Quindi alla fine:
$sum_(n=1)^oo= \text{arctg}(1/(n^2 +n+1))\approx\sum_{n=1}^{+\infty}1/(n^2 +n+1)\approx\sum_{n=1}^{+\infty}1/n^2 <+\infty$
Ti consiglio invece di applicare il criterio del confronto asintotico.
Quindi dopo aver verificato che la funzione sia a termini positivi e sia infinitesima, provi a vedere se converge usando questo criterio.
Usando lo sviluppo noto di MacLaurin per la funzione $\text{arctg}(x): x\to0$
Si ha che :
$\text{arctg}(x)=x+o(x)$ e quindi ponendo $x=1/(n^2 +n+1)$ si ha che:
$\text{arctg}(1/(n^2 +n+1))=1/(n^2 +n+1)+o(1/n^2)$
Quindi alla fine:
$sum_(n=1)^oo= \text{arctg}(1/(n^2 +n+1))\approx\sum_{n=1}^{+\infty}1/(n^2 +n+1)\approx\sum_{n=1}^{+\infty}1/n^2 <+\infty$
Vi sono vari modi,il piu' elementare dei quali e' il seguente (BR e AR sono tangenti all'arco
di circonferenza AB di raggio unitario).
Dalla figura si vede che :
[size=150]$ hat(AB)
A maggior ragione risulta quindi :
[size=150]$hat(AB)
In definitiva si ha: [size=150]$hat(AB)
Archimede
Grazie a tutti per le risposte ... solo che purtroppo non conosco lo sviluppo di MacLaurin 
sto' cercando con google una spiegazione per un incapace come me 
sto' cercando con google una spiegazione per un incapace come me
Lo sviluppo di MacLaurin non è altro che lo sviluppo di Taylor centrato nell'origine.
Conosci, vero, lo sviluppo di Taylor?
Conosci, vero, lo sviluppo di Taylor?
Un altro modo per vedere che $atan(x) \leq x \quad\forall x \geq 0$ è notale che la funzione differenza:
$f(x) = x - atan(x)$
vale $0$ per $x=0$ ed è crescente per $x>0$ .
$f(x) = x - atan(x)$
vale $0$ per $x=0$ ed è crescente per $x>0$ .
Prova a vedere se trovi qualcosa che fa al caso tuo qua:
http://enigmagame.altervista.org/module ... me=Content
http://enigmagame.altervista.org/module ... me=Content
Il sito che mi hai passato mi tornerà molto utile. Purtrppo non conosco lo sviluppo della formula di Taylor, stasera vedo di studiarmelo per bene. Per oragli ho dato solo un'occhiata.
Uhm ok...già questo ragionamento mi pare più semplice e intuitivo
Per f(x)=x i calcoli tornano ... nel caso però in cui ho una funzione f(x) - come in questo caso $1/(n^2 +n+1)$ - sicuramente maggiore di zero il ragionamento và bene uguale?
"Woody":
Un altro modo per vedere che $atan(x) \leq x \quad\forall x \geq 0$ è notale che la funzione differenza:
$f(x) = x - atan(x)$
vale $0$ per $x=0$ ed è crescente per $x>0$ .
Uhm ok...già questo ragionamento mi pare più semplice e intuitivo
Per f(x)=x i calcoli tornano ... nel caso però in cui ho una funzione f(x) - come in questo caso $1/(n^2 +n+1)$ - sicuramente maggiore di zero il ragionamento và bene uguale?
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