Studio della sommabilità di una funzione
Mi sono imbattuta in questo esercizio:
Dire se la funzione $ (e^x - 1 )^(-1/2) $ è sommabile in (0, + inf).
Come posso procedere? Non posto nessun procedimento perchè non so proprio da dove cominciare!
Grazie!
Dire se la funzione $ (e^x - 1 )^(-1/2) $ è sommabile in (0, + inf).
Come posso procedere? Non posto nessun procedimento perchè non so proprio da dove cominciare!
Grazie!
Risposte
Definizione di funzione sommabile? Comincia da quella e poi vediamo come si può ragionare!
Una funzione positiva si dice sommabile su un intervallo se il suo integrale è finito.
Quindi? Come faccio a fare l'integrale di quella funzione?
Quindi? Come faccio a fare l'integrale di quella funzione?
Aiuto!
In realtà la condizione di funzione sommabile $f(x)$ su un intervallo $(a,b)$ è la seguente:
[tex]$\int_a^b |f(x)|\ dx<\infty$[/tex]
Bene, detto questo, devi verficare se l'integrale
[tex]$\int_0^{+\infty} \left|\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\right|\ dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\ dx$[/tex]
esiste finito (la funzione integranda è sempre positiva su tale dominio). Quello che puoi usare sono i confronti locali per la funzione nei punti in cui si hanno problemi (in questo caso entrambi gli estremi di integrazione). Per prima cosa osserva che puoi spezzare l'integrale al modo seguente
[tex]$\int_0^{+\infty}=\int_0^a+\int_a^{+\infty}$[/tex]
essendo $a>0$. In questo modo suddividi il problema in due casi ciascuno costituito da un solo punto problematico: se entrambi questi integrali convergono, allora tutto l'integrale converge.
Cominciamo con $x=0$: in tal caso sappiamo che [tex]$e^x\sim 1+x$[/tex] per cui
[tex]$(e^x-1)^{-1/2}\sim x^{-1/2}$[/tex]
e quindi [tex]$\int_0^a (e^x-1)^{-1/2}\ dx$[/tex] ha lo stesso comportamento dell'integrale [tex]$\int_0^a\frac{1}{\sqrt{x}}\ dx$[/tex] il quale converge (sai perché?): quindi il primo integrale converge.
Vediamo cosa accade a $x\to+\infty$: in tal caso è facile verificare che la funzione tende al limite $0$ (è infinitesima). Questo tuttavia non basta per decidere se l'integrale converge. Possiamo però scrivere
[tex]$\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}=\frac{1}{e^{x/2}\sqrt{1-e^{-x}}}\sim e^{-x/2}$[/tex] in $x\to+\infty$
e risulta molto facile verificare che [tex]$\int_a^{+\infty} e^{-x/2}\ dx<\infty$[/tex] (il valore corretto è $-2 e^{-a/2}$). Ne segue, di nuovo come prima, che avendo il nostro integrale su $(a,+\infty)$ lo stesso comportamento di quello che abbiamo scritto ora (che risulta convergente) anche il secondo integrale che vogliamo studiare converge.
Dalla convergenza di entrambi gli integrali segue la convergenza di tutto l'integrale.
P.S.: l'esercizio richiede, per caso, anche il calcolo esplicito dell'integrale?
[tex]$\int_a^b |f(x)|\ dx<\infty$[/tex]
Bene, detto questo, devi verficare se l'integrale
[tex]$\int_0^{+\infty} \left|\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\right|\ dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\ dx$[/tex]
esiste finito (la funzione integranda è sempre positiva su tale dominio). Quello che puoi usare sono i confronti locali per la funzione nei punti in cui si hanno problemi (in questo caso entrambi gli estremi di integrazione). Per prima cosa osserva che puoi spezzare l'integrale al modo seguente
[tex]$\int_0^{+\infty}=\int_0^a+\int_a^{+\infty}$[/tex]
essendo $a>0$. In questo modo suddividi il problema in due casi ciascuno costituito da un solo punto problematico: se entrambi questi integrali convergono, allora tutto l'integrale converge.
Cominciamo con $x=0$: in tal caso sappiamo che [tex]$e^x\sim 1+x$[/tex] per cui
[tex]$(e^x-1)^{-1/2}\sim x^{-1/2}$[/tex]
e quindi [tex]$\int_0^a (e^x-1)^{-1/2}\ dx$[/tex] ha lo stesso comportamento dell'integrale [tex]$\int_0^a\frac{1}{\sqrt{x}}\ dx$[/tex] il quale converge (sai perché?): quindi il primo integrale converge.
Vediamo cosa accade a $x\to+\infty$: in tal caso è facile verificare che la funzione tende al limite $0$ (è infinitesima). Questo tuttavia non basta per decidere se l'integrale converge. Possiamo però scrivere
[tex]$\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}=\frac{1}{e^{x/2}\sqrt{1-e^{-x}}}\sim e^{-x/2}$[/tex] in $x\to+\infty$
e risulta molto facile verificare che [tex]$\int_a^{+\infty} e^{-x/2}\ dx<\infty$[/tex] (il valore corretto è $-2 e^{-a/2}$). Ne segue, di nuovo come prima, che avendo il nostro integrale su $(a,+\infty)$ lo stesso comportamento di quello che abbiamo scritto ora (che risulta convergente) anche il secondo integrale che vogliamo studiare converge.
Dalla convergenza di entrambi gli integrali segue la convergenza di tutto l'integrale.
P.S.: l'esercizio richiede, per caso, anche il calcolo esplicito dell'integrale?
Esatto. Dice nel caso sia sommabile studiarne l'integrale
Domanda banalissima ma che mi mette in forte crisi.
Come faccio a trovare una funzione asintotica a quella data?
So che 2 funzioni asintotiche si "comportano" in modo simile e conosco anche la definizione di funzioni asintotiche...
Ma non riesco su 2 piedi dire a cosa è asintotica una funzione....
Grazie
Domanda banalissima ma che mi mette in forte crisi.
Come faccio a trovare una funzione asintotica a quella data?
So che 2 funzioni asintotiche si "comportano" in modo simile e conosco anche la definizione di funzioni asintotiche...
Ma non riesco su 2 piedi dire a cosa è asintotica una funzione....
Grazie
Le asintoticità dipendono dai punti in cui vuoi calcolarle e, sostanzialmente, si ricollegano al metodo di calcolo dei limiti: ad esempio, dai limiti notevoli ${\sin t}/{t}\to 1,\ {e^t-1}/{t}\to 1$ per $t\to 0$ puoi derivare le asintoticità in $t=0$ [tex]$\sin t\sim t,\ e^t\sim 1+t$[/tex].
Per calcolare l'integrale, basta usare la "definizione": una volta stabilito che converge, allora
[tex]$\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{e^x-1}\ dx=\lim_{a\to 0^+}\int_a^{1/a}\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\ dx$[/tex]
dove andrai prima a calcolare il valore dell'integrale (è abbastanza semplice se usi la sostituzione $e^x=1+t^2$) e poi calcolerai il limite.
Per calcolare l'integrale, basta usare la "definizione": una volta stabilito che converge, allora
[tex]$\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{e^x-1}\ dx=\lim_{a\to 0^+}\int_a^{1/a}\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\ dx$[/tex]
dove andrai prima a calcolare il valore dell'integrale (è abbastanza semplice se usi la sostituzione $e^x=1+t^2$) e poi calcolerai il limite.
Ok, ora mi ci metto e provo.
Appena ho fatto posto la soluzione così mi dice che orrori ho commesso
Grazie!
Appena ho fatto posto la soluzione così mi dice che orrori ho commesso
Grazie!
Invece, dato z numero complesso, $e^{ |Imz|}$ è sommabile?
[xdom="gugo82"]Questa alzata d'ingegno mi era sfuggita...
[img]http://forum.battleclinic.com/index.php?action=dlattach;topic=150130.0;attach=23694;image[/img]
Chiudo.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Questa alzata d'ingegno mi era sfuggita...
[img]http://forum.battleclinic.com/index.php?action=dlattach;topic=150130.0;attach=23694;image[/img]
Chiudo.[/xdom]
Ma aprire una nuova discussione? Hai riesumato una cosa vecchia di un anno, ti rendi conto????
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