Studio della serie $\sum_{n=0}^oo ((a),(n))$
Salve a tutti.
Vorrei chiedervi un aiuto a proposito dello studio della seguente serie:
$\sum_{n=0}^oo ((n),(a))$
con $a in RR$
In particolare mi interesserebbe valutare il comportamento di tale serie per a<0.
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà aiutarmi.
Vorrei chiedervi un aiuto a proposito dello studio della seguente serie:
$\sum_{n=0}^oo ((n),(a))$
con $a in RR$
In particolare mi interesserebbe valutare il comportamento di tale serie per a<0.
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà aiutarmi.
Risposte
Benvenuto tra noi.
Il carattere della serie che hai postato si studia facilmente con il criterio di Raabe. Per maggiori informazioni, ti rimando a questa discussione con Rigel.
Ovviamente, puoi consultare anche questo.
Il carattere della serie che hai postato si studia facilmente con il criterio di Raabe. Per maggiori informazioni, ti rimando a questa discussione con Rigel.
Ovviamente, puoi consultare anche questo.
"Sirio1988":
Salve a tutti.
Vorrei chiedervi un aiuto a proposito dello studio della seguente serie:
$\sum_{n=0}^oo ((n),(a))$
con $a in RR$
In particolare mi interesserebbe valutare il comportamento di tale serie per a<0.
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà aiutarmi.
$a$ è reale ? Nel binomio di Newton... ? Bah...
Vai a prendere la funzione $\Gamma$ ? Non penso...
Si infatti c'è sicuramente un errore. Il coefficiente corretto è
\[\begin{pmatrix} a \\ n \end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix} a \\ n \end{pmatrix}.\]
Infatti avete tutti ragione. C'è un errore. Ancora non sono molto pratico per quanto riguarda la scrittura delle formule.
La serie giusta è $\sum_{n=0}^oo ((a),(n))$ con a reale.
Per quanto ho potuto capire dalla lezione del mio professore occorre applicare il criterio di Raabe alla serie dei valori assoluti della serie data. Quindi:
$\lim_{n \to \infty}n*((|((a),(n))|/|((a),(n+1))|)-1)$=$\lim_{n \to \infty}n*(((n+1)/|a-n|)-1)$
ed essendo che n tende a infinito, allora da un certo n in poi si avrà che n>a. Quindi si potrà scrivere:
$\lim_{n \to \infty}n*(((n+1)/(n-a))-1)$=$\lim_{n \to \infty}n*(((n+1-n+a)/(n-a)))$=$\lim_{n \to \infty}n*((1+a)/(n-a))$=$1+a$
Affinchè la serie dei valori assoluti sia convergente si dovrà avere che $1+a>1 \Rightarrow a>0$
La serie di partenza converge assolutamente per a>0 e quindi anche semplicemente.
Per a<0 non si avrà convergenza assoluta, ma non è comunque detto che la serie data non possa essere semplicemente convergente. Quello che mi interessa valutare è il comportamento per a<0. Spero di essere stato chiaro nella spiegazione del mio quesito. Se ci dovessero essere altri errori nelle formule non esitate a mostrarmeli. Siamo qui per imparare
La serie giusta è $\sum_{n=0}^oo ((a),(n))$ con a reale.
Per quanto ho potuto capire dalla lezione del mio professore occorre applicare il criterio di Raabe alla serie dei valori assoluti della serie data. Quindi:
$\lim_{n \to \infty}n*((|((a),(n))|/|((a),(n+1))|)-1)$=$\lim_{n \to \infty}n*(((n+1)/|a-n|)-1)$
ed essendo che n tende a infinito, allora da un certo n in poi si avrà che n>a. Quindi si potrà scrivere:
$\lim_{n \to \infty}n*(((n+1)/(n-a))-1)$=$\lim_{n \to \infty}n*(((n+1-n+a)/(n-a)))$=$\lim_{n \to \infty}n*((1+a)/(n-a))$=$1+a$
Affinchè la serie dei valori assoluti sia convergente si dovrà avere che $1+a>1 \Rightarrow a>0$
La serie di partenza converge assolutamente per a>0 e quindi anche semplicemente.
Per a<0 non si avrà convergenza assoluta, ma non è comunque detto che la serie data non possa essere semplicemente convergente. Quello che mi interessa valutare è il comportamento per a<0. Spero di essere stato chiaro nella spiegazione del mio quesito. Se ci dovessero essere altri errori nelle formule non esitate a mostrarmeli. Siamo qui per imparare
Potresti considerare che
$((a),(n))=(-1)^n((-a+n-1),(n))$
$((a),(n))=(-1)^n((-a+n-1),(n))$
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