Studio della monotonia della funzione

[catux1]

Vi sembrerà banale come cosa ma in realtà non è così, almeno per me non lo è stato. Provate a svolgere la derivata di questa funzione e a fare, in seguito, il relativo studio al fine di conoscere la monotonia e i massimi e minimi della funzione.

$arcsen$($sqrt(2x-x^2)$)

[ciampax]

E quale è il problema? La derivata è questa

$f'(x)={1-x}/{\sqrt{2x-x^2}\sqrt{1-(2x-x^2)}}$

Cosa ti suona strano?

[Gi81]

Infatti: una volta che hai trovato il dominio di $f(x)= arcsin(sqrt(2x-x^2))$ (che se non sbaglio è $[0,2]$)
hai automaticamente che il denominatore di $f'(x)$ è sempre positivo, quindi ti basta controllare il segno del numeratore.

[catux1]

scusate ma ho provato per 20 minuti a scrivere il messaggio con il linguaggio consigliato dal forum ma veramente non ci riesco comunque qui ci troviamo di fronte ad una $f(g(x))$ quindi avremo $f'(g(x))$ $*$ $g'(x)$. Bene, quando calcolo la $f'(g(x))$ ottengo al denominatore RADICE(1-(RADICE(2x-x^2))^2) = RADICE(1-2x+x^2) = RADICE(1-x)^2 = $(1-x)$
Voi, a quanto pare, non ottenete questa situazione. Come mai?

[ciampax]

Corretto sopra. In ogni caso la derivata diventa

$f'(x)=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}\cdot |1-x|}$

per cui quello che accade è che la funzione non è derivabile in $x=1$. Tuttavia, la funzione derivata risulta positiva per $0\le x<1$ e negativa per $1

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[catux1]

Io non capisco perché non andiamo a semplificare il termine $1-x$ .Io quando ho trovato frazioni del tipo$(f(x))/sqrt(f(x))^2$ ho sempre semplificato. In questo caso semplificando otterrei una $f'(x)$ che mi farebbe affermare che la funzione è monotona decrescente in tutto il suo dominio. Ciò, però, non rispecchierebbe la realtà.

[ciampax]

Punto primo: $\sqrt{t^2}=|t|$.
Punto secondo: prova a calcolare la derivata della funzione nel punto $x=1$ usando la definizione (limite del rapporto incrementale) e ti accorgerai che vengono due valori differenti.
Punto terzo: si ha ${1-x}/{|1-x|}=1$ se $x<1$ e $-1$ se $x>1$. Per $x=1$ il rapporto non è definito.

[catux1]

ok. Un'ultima cosa: Se consideriamo che la derivata prima è $(1-x)/sqrt((2x-x^2)(x-1)^2)$ , la derivata seconda sarà a conti fatti $=$ $-(x-1)^2/sqrt((2x-x^2)^3(x-1)^2)$
Da qui possiamo concludere che la funzione in tutto il dominio volge la concavità verso il basso. Quindi non ha punti di flesso anche perché la funzione si annulla solamente per $x=1$ e tale valore non appartiene al C.E. della $f''(x)$ . Lei però mi ha detto prima che in corrispondenza del punto di ascissa $x=1$ la funzione non è derivabile ma, essendo la funzione continua nell'intervallo chiuso $(0,2)$, possiamo comunque accettare tale valore. Ora mi chiedo, anche in questo caso possiamo accettare tale valore?

[ciampax]

Sì: in questo caso devi, semplicemente, ragionare separatamente sui due intervalli $[0,1)$ e $(1,2]$ per concludere che la funzione è concava su entrambi.

[catux1]

Però il punto di ascissa $x=1$ non è in realtà un punto di flesso o sbaglio? cos'è allora? Mi preme saperlo perché il professore richiede una sorta di legenda dove bisogna inserire ad esempio quali sono i punti di massimo, di minimo, di flesso ecc. Comunque la ringrazio per il tempo che sta perdendo per risolvere i miei dubbi.

[ciampax]

Non è un flesso poiché la derivata seconda non cambia segno.

[catux1]

ok grazie mille.