Studio della monotonia

[Lucked]

Ciao a tutti!
Devo studiare la monotonia di questa funzione:
$(x^2(2x^2 - 3))/(2x^2-1)^2$
quand'è che è maggiore di zero? come fare?

[_Tipper]

Studiare la monotia non vuol dire studiare il segno della funzione bensì il segno della derivata.
Prima ti calcoli la derivata, poi ne studi il segno: dove la derivata è positiva la funzione è crescente, dove è negativa la funzione è decrescente.
Se la derivata risultasse maggiore di zero $\forall x$ allora la funzione risulterebbe monotona crescente, se la derivata risultasse minore di zero $\forall x$ allora la funzione sarebbe monotona decrescente.

[Lucked]

si, quella che ho postato è la derivata della funzione :p

[_Tipper]

Allora basta studiare il segno, non mi sembra difficile: in $\pm \frac{sqrt(2)}{2}$ non è definita, $x^2$ è un quadrato, sempre positivo, $(2x^2-1)^2$ è un quadrato, sempre positivo, rimane solo da studiare $(2x^2 - 3)$.

[desko]

"Lucked":si, quella che ho postato è la derivata della funzione :p

Non eri stato chiarissimo.
Comunque si tratta di studiarne il segno e questo si fa a prescindere dal fatto che sia una derivata: se sai calcolare il segno din una qualunque frazione di polinomi sai farlo anche di questa.

[Lucked]

aspetta...non è definita in 1/radice(2) semmai. che dite?

[_Tipper]

E che differenza c'è fra $1/sqrt(2)$ e $sqrt(2)/2$??????

[Lucked]

ah giusto

[_Tipper]

[Lucked]

allora seguendo il consiglio di tipper..
$2x^2 - 3 > 0$ per $x>sqrt(3/2)$ e per $x<-sqrt(3/2)$

questi sono i valori per cui la funzione è maggiore di zero?
p.s:e poi volevo sapere una cosa. il dominio della funzione è lo stesso per la derivata prima?

[cavallipurosangue]

Per quanto riguarda l'ultima affermazione ti posso dire che è falsa, se ho capito bene. Infatti in generale il dominio di una funzione e delle sue derivate non è lo stesso, infatti è noto che il dominio della derivata $n$-esima, ammesso che esista, deve esser contenuto in quello della funzione di partenza, ma non è detto il viceversa, infatti dove una funzione è derivabile è di sicuro anche continua, mentre non è vero il contrario, pensa ai punti angolosi o alle cuspidi... Quindi possono esistere dei punti del dominio di f che non appartengono al dominio di f'... Un esempio veloce ed immediato è: $f(x)=|x|$ oppure $g(x)=\sqrtx$...

[Lucked]

ok cavalli grazie per la spiegazione cosi precisa. penso che anche la prima affermazione sia giusta.

[Lucked]

adesso ho calcolato la derivata seconda

f(2) = $2x (2x^2 + 3)/(2x^2 - 1)^3$

qui come faccio a fare lo studio dei segni? al denominatore ho un cubo..devo usare ruffini?

[TomSawyer1]

Il denominatore è positvo/negativo quando $2x^2-1$ è positivo/negativo, quindi basta analizzare quello.

[Lucked]

si in effetti elevare a 3 o a 1 non cambia.
mi spiegate perchè non considero anche il numeratore?
essendo una disequazione fratta non devo porre numeratore > 0 e denominatore > 0 e poi usare le regole dei segni? Spiegatemi :p

[TomSawyer1]

Consideri anche il numeratore. Avevo risposto solo alla domanda sul denominatore. Puoi fare un sistema con
$2x, 2x^2+3, 2x^2-1$.

[Lucked]

pero 2x^2 + 3 > 0 2x^2 > -3
x^2 > -3/2 c'è il problema della radice negativa : |

ah no scusate...uso la formula visto che c'è

[TomSawyer1]

$x^2> -3/2$ per tutti gli x, perché è un quadrato.

[Lucked]

capito grazie Crook.