Studio della funzione $ f(x) = \frac{(-1)^{\lfloor x \rfloor}}{1+x} $
Salve a tutti
[ot]Come state?
[/ot]
Come da titolo, sono qui oggi per discutere e/o ricevere consiglio riguardo questa funzione "antipatica".
Ricordo che $ \lfloor x \rfloor = \max \{ n \in \mathbb{Z} | n \leq x \} $.
Il dominio naturale risulta essere:
\[
\mathcal{D} = \mathbb{R} - \{-1 \}
\]
Ora, per quanto ne concerne i limiti, sapendo che $ (-1)^{-x} = (-1)^{x} $, si ha che
\[
- \frac{1}{1+x} \leq \frac{(-1)^{\lfloor x \rfloor}}{1+x} \leq \frac{1}{1+x}
\]
Pertanto, nel calcolo dei limiti, posso sfruttare il teorema dei carabinieri e $ \pm \frac{1}{1+x} $:
\[
\lim_{x \to \pm \infty} - \frac{1}{1+x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{1+x} = 0
\]
(ciò si poteva vedere pure ad occhio: alla fine l'unica cosa che può fare il numeratore è cambiare segno...)
\[
\lim_{x \to -1} \frac{(-1)^{\lfloor x \rfloor}}{1+x} = \lim_{x \to -1} \frac{(-1)^{\lfloor -1 \rfloor}}{0} = -\infty
\]
Per quanto ne concerne il segno, invece, quest'ultimo è determinato non solo dal segno del numeratore, ma da quello del denominatore. A causa di \lfloor x \rfloor, la funzione cambia segno per $ x $ intere: nell'intervallo $ (-\infty, 0) $, $ f $ è positiva negli intervalli $ (dispari, pari) $ di $ x $, mentre nell'intervallo $ (0, +\infty) $ è positiva negli intervalli $ (pari, dispari) $ di $ x $.
Dunque, di continuità e derivabilità in tutti i punti del dominio a coordinate intere non se ne parla nemmeno. Invece, $ f $ è continua in tutto il resto di $ \mathbb{D} $ in quanto somma, rapporto e composizione di funzioni elementari.
Ora, tutto quello che ho detto fin'ora sono intuizioni, che però non riesco a descrivere in matematichese. Naturalmente il Prof. non ci ha lasciato uno straccio di prova scritta o delucidazione in merito, e francamente mi aspetto anche che volesse solo due righe scritte.
Ma come dicono @pilloeffe e @gugo82, forse è meglio non fidarsi delle sole parole (i conti parlano).
Potete darmi una mano a mettere queste idee in chiaro?
P.S.: ecco un grafico di $ f $.
[ot]Come state?
[/ot]Come da titolo, sono qui oggi per discutere e/o ricevere consiglio riguardo questa funzione "antipatica".
Ricordo che $ \lfloor x \rfloor = \max \{ n \in \mathbb{Z} | n \leq x \} $.
Il dominio naturale risulta essere:
\[
\mathcal{D} = \mathbb{R} - \{-1 \}
\]
Ora, per quanto ne concerne i limiti, sapendo che $ (-1)^{-x} = (-1)^{x} $, si ha che
\[
- \frac{1}{1+x} \leq \frac{(-1)^{\lfloor x \rfloor}}{1+x} \leq \frac{1}{1+x}
\]
Pertanto, nel calcolo dei limiti, posso sfruttare il teorema dei carabinieri e $ \pm \frac{1}{1+x} $:
\[
\lim_{x \to \pm \infty} - \frac{1}{1+x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{1+x} = 0
\]
(ciò si poteva vedere pure ad occhio: alla fine l'unica cosa che può fare il numeratore è cambiare segno...)
\[
\lim_{x \to -1} \frac{(-1)^{\lfloor x \rfloor}}{1+x} = \lim_{x \to -1} \frac{(-1)^{\lfloor -1 \rfloor}}{0} = -\infty
\]
Per quanto ne concerne il segno, invece, quest'ultimo è determinato non solo dal segno del numeratore, ma da quello del denominatore. A causa di \lfloor x \rfloor, la funzione cambia segno per $ x $ intere: nell'intervallo $ (-\infty, 0) $, $ f $ è positiva negli intervalli $ (dispari, pari) $ di $ x $, mentre nell'intervallo $ (0, +\infty) $ è positiva negli intervalli $ (pari, dispari) $ di $ x $.
Dunque, di continuità e derivabilità in tutti i punti del dominio a coordinate intere non se ne parla nemmeno. Invece, $ f $ è continua in tutto il resto di $ \mathbb{D} $ in quanto somma, rapporto e composizione di funzioni elementari.
Ora, tutto quello che ho detto fin'ora sono intuizioni, che però non riesco a descrivere in matematichese. Naturalmente il Prof. non ci ha lasciato uno straccio di prova scritta o delucidazione in merito, e francamente mi aspetto anche che volesse solo due righe scritte.
Ma come dicono @pilloeffe e @gugo82, forse è meglio non fidarsi delle sole parole (i conti parlano).
Potete darmi una mano a mettere queste idee in chiaro?
P.S.: ecco un grafico di $ f $.
Risposte
Sì: hai che \(h \to 0\). rileggi la discussione e rifletti su questo.
Sarà mica che:
per $ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} $
\[
\lim_{h \to 0} \frac{\lfloor x_0 + h \rfloor - \lfloor x_0 \rfloor}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{t - t}{h} = 0
\]
dove $ t \in \mathbb{Z} $ ed è il valore restituito da $ \lfloor x \rfloor $?
per $ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} $
\[
\lim_{h \to 0} \frac{\lfloor x_0 + h \rfloor - \lfloor x_0 \rfloor}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{t - t}{h} = 0
\]
dove $ t \in \mathbb{Z} $ ed è il valore restituito da $ \lfloor x \rfloor $?
A parte la confusione con la notazione (appaiono sia \(x\) sia \(x_0\)), è giusto. Però, per essere proprio pedante, mi dimostri che \(\lfloor x_0+h \rfloor = \lfloor x_0 \rfloor\) quando \(h \to 0\) e \(x_0 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\)?
Intuitivamente, $ h $ è un incremento davvero piccolo, dunque, per $ x_0 \ne \mathbb{Z} $ , $ \lfloor x_0 + h \rfloor = x_0 $, ma devo allora trovare un altro modo... 
...
Sia $ x \in \mathbb{R} $ e sia $ n \in \mathbb{Z} $. Sia $ m = \lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z} $.
Allora $ x = m + e $ con $ e \in \mathbb{R} $ e $ 0 \leq e < 1 $.
Allora
\[ \lfloor x + n \rfloor = \lfloor ( m + e ) + n \rfloor = \lfloor ( m + n ) + e \rfloor = m + n = \lfloor x \rfloor + n \]
Ma così lo dimostro per $ x $ appartenenti a tutto $ \mathbb{R} $...
Potrebbe anche questo essere un granchio enorme...
...Sia $ x \in \mathbb{R} $ e sia $ n \in \mathbb{Z} $. Sia $ m = \lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z} $.
Allora $ x = m + e $ con $ e \in \mathbb{R} $ e $ 0 \leq e < 1 $.
Allora
\[ \lfloor x + n \rfloor = \lfloor ( m + e ) + n \rfloor = \lfloor ( m + n ) + e \rfloor = m + n = \lfloor x \rfloor + n \]
Ma così lo dimostro per $ x $ appartenenti a tutto $ \mathbb{R} $...
Potrebbe anche questo essere un granchio enorme...
Attendendo la conferma dell'ultimo messaggio, pongo l'attenzione sulla risposta fornita dal nostro docente in merito ai minimi e massimi di $ f $:
Il grafico tuttavia, in merito ai massimi, dice diversamente:
Troppo pignolo?
"[2] Quali sono massimo, minimo sup e inf dei valori assunti dalla funzione?
Ci sono infiniti massimi locali?
R: Il minino non esiste. Il sup e il massimo sono uguali a 2: Ci sono massimi locali ad es. in tutti i punti di coordinata pari e positiva. Quindi sono infiniti."
Ci sono infiniti massimi locali?
R: Il minino non esiste. Il sup e il massimo sono uguali a 2: Ci sono massimi locali ad es. in tutti i punti di coordinata pari e positiva. Quindi sono infiniti."
Il grafico tuttavia, in merito ai massimi, dice diversamente:
Troppo pignolo?
"ncant":
Intuitivamente, $ h $ è un incremento davvero piccolo, dunque, per $ x_0 \ne \mathbb{Z} $ , $ \lfloor x_0 + h \rfloor = x_0 $
No, proprio perché \(h\) puoi prenderlo piccolo abbastanza è \(\lfloor x_0 + h \rfloor = \lfloor x_0 \rfloor\).
"ncant":
Sia $ x \in \mathbb{R} $ e sia $ n \in \mathbb{Z} $. Sia $ m = \lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z} $.
Allora $ x = m + e $ con $ e \in \mathbb{R} $ e $ 0 \leq e < 1 $.
Allora
\[ \lfloor x + n \rfloor = \lfloor ( m + e ) + n \rfloor = \lfloor ( m + n ) + e \rfloor = m + n = \lfloor x \rfloor + n \]
Ma così lo dimostro per $ x $ appartenenti a tutto $ \mathbb{R} $...
Così hai dimostrato un'altra cosa: la parte intera di una somma si può scrivere come somma di due interi. Non è quello che volevamo. Si può dimostrare come segue (ricalcando quanto già detto prima sulla continuità): sia \(x_0 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) arbitrario. Per cose già dette prima in questo post, esiste \(k_0 \in \mathbb{Z}\) tale che \(k_0 < x < k_0+1\). Quindi, se \(0<|h|<\text{min}\{|x_0-k_0|,|x_0-(k_0 +1)|\}\) allora \(x_0+h \in (k_0,k_0+1)\) e perciò \(\lfloor x_0+h \rfloor = k_0 = \lfloor x_0 \rfloor\). Dunque, il rapporto incrementale relativo alla funzione parte intera inferiore calcolato in \(x_0\) è identicamente nullo e pertanto è minore di qualsiasi \(\varepsilon>0\) arbitrario. Questo dimostra che sia il limite destro del rapporto incrementale in \(x_0\) sia il limite sinistro del rapporto incrementale in \(x_0\) sono nulli. Quindi, la funzione parte intera inferiore è derivabile in \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) con derivata nulla (come ci aspettavamo dal grafico, essendo essa costante "a tratti" negli intervalli chiusi a sinistra e aperti a destra aventi interi consecutivi come estremi).
Per quanto riguarda l'altra domanda: innanzitutto, per favore, sostituisci il testo della foto con le formule scritte. Il grafico puoi lasciarlo; grazie! Non sei troppo pignolo: è giusto quello che dici. Molto probabilmente è un errore di battitura, voleva scrivere che il massimo è \(1\).
"Mephlip":
Per quanto riguarda l'altra domanda: innanzitutto, per favore, sostituisci il testo della foto con le formule scritte. Il grafico puoi lasciarlo. Non sei troppo pignolo: è giusto quello che dici. Molto probabilmente è un errore di battitura, voleva scrivere che il massimo è \(1\).
Done
Oddio... non so davvero come ringraziarti per quella risposta eccezionale
Quindi... dimostrato dove $ \lfloor x \rfloor $ è continuo in $ \mathbb{R} $, posso affermare che $ f $ è continua e derivabile $ forall x \in \mathbb{R} \ \setminus \ \mathbb{Z} $ in quanto si tratta del rapporto di due funzioni continue nel dominio in questione?
Poi, per la monotonia e la convessità posso sfruttare $ \frac{1}{| x + 1 |} $ e $ - \frac{1}{|x + 1|} $ quando $ f $ è rispettivamente positiva o negativa (per il teorema dei carabinieri)?
Prego! E grazie per aver modificato 
.
Ribadisco: la funzione \(\lfloor x \rfloor\) non è continua in \(\mathbb{R}\), è continua in \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\). È tipo la decima volta che lo diciamo, spero che il tuo sia un errore di battitura.
Sì. Devi giusto aggiungere che \((-1)^{\lfloor x \rfloor}\) è continua in \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) perché composizione tra una potenza e una parte intera inferiore. Le potenze sono continue in \(\mathbb{R}\), quindi lo sono in particolare in \(x=-1\).
Consideri \(k \in \mathbb{Z}\setminus\{-1\}\), separi i casi \(k\) pari o \(k\) dispari e consideri \(x \in [k,k+1)\). Da qui, in base alla parità/disparità di \(k\), hai le due funzioni \(x \mapsto 1/(x+1)\) o \(x \mapsto -1/(x+1)\) la cui monotonia/convessità è semplice da stabilire.
Non ho capito cosa c'entra il teorema dei carabinieri però: il segno lo hai già discusso, il teorema dei due carabinieri è un teorema per calcolare i limiti.
."ncant":
Quindi... dimostrato dove $ \lfloor x \rfloor $ è continuo in $ \mathbb{R} $
Ribadisco: la funzione \(\lfloor x \rfloor\) non è continua in \(\mathbb{R}\), è continua in \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\). È tipo la decima volta che lo diciamo, spero che il tuo sia un errore di battitura
."ncant":
posso affermare che $ f $ è continua e derivabile $ forall x \in \mathbb{R} \ \setminus \ \mathbb{Z} $ in quanto si tratta del rapporto di due funzioni continue nel dominio in questione?
Sì. Devi giusto aggiungere che \((-1)^{\lfloor x \rfloor}\) è continua in \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) perché composizione tra una potenza e una parte intera inferiore. Le potenze sono continue in \(\mathbb{R}\), quindi lo sono in particolare in \(x=-1\).
"ncant":
per la monotonia e la convessità posso sfruttare $ \frac{1}{| x + 1 |} $ e $ - \frac{1}{|x + 1|} $ quando $ f $ è rispettivamente positiva o negativa
Consideri \(k \in \mathbb{Z}\setminus\{-1\}\), separi i casi \(k\) pari o \(k\) dispari e consideri \(x \in [k,k+1)\). Da qui, in base alla parità/disparità di \(k\), hai le due funzioni \(x \mapsto 1/(x+1)\) o \(x \mapsto -1/(x+1)\) la cui monotonia/convessità è semplice da stabilire.
"ncant":
(per il teorema dei carabinieri)?
Non ho capito cosa c'entra il teorema dei carabinieri però: il segno lo hai già discusso, il teorema dei due carabinieri è un teorema per calcolare i limiti.
"Mephlip":
Ribadisco: la funzione \(\lfloor x \rfloor\) non è continua in \(\mathbb{R}\), è continua in \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\). È tipo la decima volta che lo diciamo, spero che il tuo sia un errore di battitura
Intendevo: in quali parti di $ \mathbb{R} $ $ \lfloor x \rfloor $ è continua. Poi abbiamo già dimostrato che in effetti è continua solo in $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} $. Solo che nella mia interpretazione, essendo $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} $ un sottoinsieme di $ \mathbb{R} $, lo ho interpretato come la domanda "dove è $ \lfloor x \rfloor $ continuo in $ \mathbb{R} $? La risposta è che è continua per $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} $.
(Ragionamento storto, nevvero?)
"Mephlip":
Sì. Devi giusto aggiungere che \((-1)^{\lfloor x \rfloor}\) è continua in \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) perché composizione tra una potenza e una parte intera inferiore. Le potenze sono continue in \(\mathbb{R}\), quindi lo sono in particolare in \(x=-1\).
Okie
"Mephlip":
Consideri \(k \in \mathbb{Z}\setminus\{-1\}\), separi i casi \(k\) pari o \(k\) dispari e consideri \(x \in [k,k+1)\). Da qui, in base alla parità/disparità di \(k\), hai le due funzioni \(x \mapsto 1/(x+1)\) o \(x \mapsto -1/(x+1)\) la cui monotonia/convessità è semplice da stabilire.
Come funzione a tratti diventa (considerando $ k \in \mathbb{Z}\setminus\{-1\} $ e $ x \in [k,k+1) $ )
\[
f(x) := \begin{cases}
- \frac{1}{x + 1} & \text{per } k \text{ dispari } \\
\frac{1}{x + 1} & \text{per } k \text{ pari }
\end{cases}
\]
(sono ancora alla ricerca di una notazione migliore...)
"Mephlip":
[quote="ncant"](per il teorema dei carabinieri)?
Non ho capito cosa c'entra il teorema dei carabinieri però: il segno lo hai già discusso, il teorema dei due carabinieri è un teorema per calcolare i limiti.[/quote]
Sono rincoglionito e raffreddato. E sparo ca**ate (quest'ultima rimane invariata anche se sono in salute).
"ncant":
Intendevo: in quali parti di $ \mathbb{R} $ $ \lfloor x \rfloor $ è continua. Poi abbiamo già dimostrato che in effetti è continua solo in $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} $. Solo che nella mia interpretazione, essendo $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} $ un sottoinsieme di $ \mathbb{R} $, lo ho interpretato come la domanda "dove è $ \lfloor x \rfloor $ continuo in $ \mathbb{R} $? La risposta è che è continua per $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} $.
(Ragionamento storto, nevvero?)
Scusami, ho letto male io. Mi ero perso quel "dove", o l'ho scambiato per un "che". Ha perfettamente senso il ragionamento che fai ora che ho letto bene.
"ncant":
(sono ancora alla ricerca di una notazione migliore...)
Non mi sembra male come notazione. Se proprio vuoi comprimere il più possibile, puoi scrivere:\[
f(x)=g_k (x) :=\begin{cases} -1/(x+1) \ , & \ (k \ \text{dispari}) \wedge (x \in [k,k+1)\setminus\{-1\}) \\ 1/(x+1) \ , & \ (k \ \text{pari}) \wedge (x \in [k,k+1)) \\\end{cases}
\]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo