Studio della funzione!!

[Hajra]

[math]f(x)=\frac{1}{xlog|x|}[/math]

Dominio:
metto in sistema

[math]xlog|x|\neq0\rightarrow x\neq0 , log|x|\neq0, dove |x|\neq1 \rightarrow x\neq±1[/math]

[math]x>0[/math]

[math]D: (-\infty ; -1)U(-1;0)U(0;+1)U(+1;+\infty)[/math]

Simmetrie:

[math]f(-x) = \frac{1}{-xlog|-x|}[/math]

la funzione è dispari quindi è simmetrico rispetto all'origine


Asintoto Verticale:

[math]lim_{x\rightarrow-1}\frac{1}{xlog|x|}= lim_{x\rightarrow-1}\frac{1}{-1log|-1^+|}= lim_{x\rightarrow-1}\frac{1}{0}= \infty*[/math]

[math]lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{1}{xlog|x|}= lim_{x\rightarrow-1}\frac{1}{-1log|-1^+|}= lim_{x\rightarrow-1}\frac{1}{0}= \infty*[/math]

[math]lim_{x\rightarrow+1}\frac{1}{xlog|x|}= \infty*[/math]

[math]lim_{x\rightarrow+1^-}\frac{1}{xlog|x|}= \infty*[/math]

[math]lim_{x\rightarrow0^±}\frac{1}{xlog|x|}= ±\infty*[/math]

Esiste asintoto verticale sia nel punto ±1 e 0.

Asintoto Orizzontale:

[math]lim_{x\rightarrow±\infty}\frac{1}{xlog|x|}= 0[/math]

Esiste asintoto verticale, quindi non c'è asintoto obliquo!


Positività:

[math]\frac{1}{xlog|x|}> 0[/math]

[math]x>0[/math]

[math]xlog|x|>0 \rightarrow x>0 , log|x|>0, dove |x|>1 \rightarrow x>±1[/math]

(cioè meglio x>1 e x

[ciampax]

1) Per determinare il segno giusto dei limiti, ti conviene risolvere la disequazione

[math]f(x)>0[/math]

per la positività della funzione. Risolvila meglio, però.

2) veramente il limite per

[math]x\to\pm\infty[/math]

ti dice che c'è un asintoto orizzontale, non verticale.

3) Per la derivata, ti consiglio di spezzare la funzione nelle due funzioni definite per le x positive e le x negative.

[Hajra]

1) allora

[math]\frac{1}{xlog|x|}> 0[/math]

[math]x>0[/math]

[math]log|x|>0 \Rightarrow |x|>1 \Rightarrow x>1 \land x 1)[/math]

[math]lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)= +\infty[/math]

[math]lim_{x \rightarrow -1^-}f(x)= -\infty[/math]

[math]lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)= +\infty[/math]

[math]lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)= -\infty[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

per quanto riguarda la derivata non ho capito che cosa intendi :(

[ciampax]

I limit sono corretti. Per la derivata, scrivi la funzione così:

[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{1}{x\log x} & & x\in(0,1)\cup(1,+\infty)\\ \frac{1}{x\log(-x)} & & x\in(-\infty,-1)\cup(-1,0)
\end{array}\right.[/math]

e studia il comportamento delle due funzioni sui rispettivi insiemi di definizione scritti di fianco.

[Hajra]

allora, comincio con questa

[math]f(x)\frac{1}{xlogx}[/math]

[math]f'(x) = \frac{\frac{-1}{x}}{(xlogx)^2}[/math]

[ciampax]

Mmmmm.... no!

[math]f'(x)=-\frac{\log x+x\cdot\frac{1}{x}}{(x\log x)^2}=-\frac{\log x+1}{(x\log x)^2}[/math]

[Hajra]

Scusami

[math]f'(x)=\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)}{(g(x))^2}[/math]

quindi
la derivata di 1 = 0
la derivata di x = 1
la derivata di logx =

[math]\frac{1}{x}[/math]

allora

[math]f'(x) =\frac{0*xlogx - \frac{1}{x}*1}{(xlogx)^2}[/math]

[ciampax]

Guarda che

[math]g(x)=x\log x[/math]

, per cui devi fare la derivata di un prodotto. (P.S.: non ci provare nemmeno a correggermi, è un consiglio da amico :asd )

[Hajra]

ahahahahh chiedo scusa

Aggiunto 2 ore 50 minuti più tardi:

allora come sempre hai ragione,

[math]f'(x) = -\frac{logx+1}{(x log x)^2}[/math]

adesso

[math]-\frac{logx+1}{(x log x)^2}>0
\\N: -logx + 1>0 \rightarrow -logx>-1 \rightarrow logx 0 \rightarrow \forall x \in R[/math]

Giusto?????

[ciampax]

Il meno davanti fa cambiare segno a tutto: per cui

[math]-(\log x+1)>0\ \Rightarrow \log x+10[/math]

, possiamo concludere che

[math]f(x)[/math]

è crescente su

[math](0,e^{-1})[/math]

[math]f(x)[/math]

è decrescente su

[math](e^{-1},1)\cup(1,+\infty)[/math]

esiste un punto di massimo in

[math]M(e^{-1},-e)[/math]

in quanto

[math]f(e^{-1})=\frac{1}{e^{-1}\cdot\log|e^{-1}|}=\frac{e}{\log(e^{-1})}=-e[/math]

A causa della disparità della funzione, puoi ragionare al contrario sull'intervallo

[math](-\infty,-1)\cup(1,0)[/math]

, invertendo tra loro crescita e decrescita e massimo con minimo.

[Hajra]

[math]f(x)= \frac{1}{xlog|-x|}[/math]

[math] f'(x) = \frac{-(log(-x)-1)}{(xlog(-x))^2}[/math]

Studio del segno:

[math]\frac{-(log(-x)-1)}{(xlog(-x))^2} > 0 \\ N: (log(-x)+1) > 0 \\ log(-x)+1>0 \\ log(-x) > -1 \\ -x > e^{-1} \\ x < -e^{-1} \\ D: (xlog(-x))^2 > 0 \Rightarrow \forall x \in R[/math]

[math]-e^{-1}[/math]

è il punto di massimo

[math]f(-e^{-1})= \frac{1}{xlog|x|} \\ =\frac{1}{-e^{-1}log|-e^{-1}|} \\= \frac{e}{-log|-e^{-1}|}\\=\frac{e}{-log|e^{-1}|} [/math]

adesso come vado avanti????

[ciampax]

Tutto giusto... se non fosse che il - davanti alla derivata ti dice che non hai un massimo ma un minimo, visto che devi cambiare il segno del numeratore. Alla fine

[math]f(-e^{-1})=\frac{1}{-e^{-1}\log|-e^{-1}|}=-e/(-1)=e[/math]

.

[Hajra]

quel - che dici, mi rimane quando applico la regola della derivazione di quoziente, poi se tolgo quella al numeratore mi rimane

[math]=\frac{log(-x)-1}{(xlog(-x))^2}>0[/math]

e se risolvo il numeratore di questo, mi da come risultato

[math]x< -e[/math]

k secondo me non è giusto.

[ciampax]

No assolutamente! La derivata della funzione che hai in questo caso è

[math]f'(x)=-\frac{\log(-x)+x\cdot(-1/x)}{(x\log(-x))^2}=-\frac{\log(-x)-1}{(x\log(-x))^2}[/math]

per cui è come dico io. Mi sa che ti devi riguardare anche il modo in cui si usano i meno, nelle operazioni.

Aggiunto 2 minuti più tardi:

In questo modo la disequazione per il numeratore diventa

[math]-\log(-x)+1\ge 0[/math]

da cui

[math]\log(-x)\le 1\ \Rightarrow\ -x\le e\ \Rightarow\ x\ge -e[/math]

.

Prima lo hai scritto anche tu che la funzione è dispari, per cui se in +e c'è un massimo in -e ci deve essere un minimo (lo sai che caratteristiche hanno i grafici delle funzioni dispari.

E ti ripeto: non mi correggere, perdi in partenza! :asd

[Hajra]

non ti ho detto mai k hai sbagliato, ho fatto una domanda e basta, puoi il - mi sono sbagliata di mettere insieme al log, e chiedo scusa.

[ciampax]

Ma dai che sto scherzando! Non hai visto la faccina sorridente da bastardo? :asd