Studio della differenziabilità e derivata direzionale funzione a due variabili reali
Testo :
Sia $ f(x,y) = {( (xy^2)/(x^4+y^2),(x,y)!=(0,0)) , (0,(x,y)=(0,0)):} $
a)Stabilire se la funzione è continua e differenziabile nel punto (0,0)
b)Calcolare la derivata direzionale lungo la direzione $ lambda $ = ($ alpha,beta $) in (0,0)
Mio Svolgimento :
a ) • Il Dominio della funzione è $ R^2- {(0,0)} $
• per verificare che la funzione sia continua bisogna verificare che
$ lim_(x,y->0,0)((xy^2)/(x^4+y^2)) = f(0,0) $
Ma f(0,0) = 0 per come è definita dall'esercizio e allora affinché la relazione sia soddisfatta anche quel limite deve essere 0
(ORA NON SO SE è corretto) ma io agirei così :
$ (xy^2)/(x^4+y^2)= |x| * |(y^2)/(x^4+y^2)| < |x| $ (sicché $ |(y^2)/(x^4+y^2)| $ è <1 ) ) $ => 0 < |x| * |(y^2)/(x^4+y^2)| < |x| $
Allora per il teorema dei carabinieri $ lim_(x,y->0,0)((xy^2)/(x^4+y^2)) = 0 = f(0,0) $ => La funzione è continua.
• Poiché è continua potrebbe essere anche differenziabile in (0,0) ma poiché (0,0) non appartiene al dominio non possiamo applicare il teorema del differenziale totale allora dobbiamo ricorrere alla definizione di differenziabilità
f(x,y) è differenziabile in (0,0) <=>
$ lim_((h,k)->(0;0)) ( f(0+h,0+k) - f(0,0)-f_x(0,0) * h-f_y(0,0)*k ) /(sqrt(h^2+k^2)) = 0 $
• $ f(h,k) = (hk^2)/(h^4+k^2) $
•$ f(0,0) = 0 $ , secondo quanto imposto dall' esercizio stesso
• $ f_x(0,0) = lim_(h->0) ( f(h,0)-f(0,0) )/(h) = lim_(h->0) (h 0^2)/((h^4+0) h) = 0 $
• $ f_y(0,0) = lim_(k->0) ( f(0,k)-f(0,0) )/(k) = lim_(k->0) (0 k^2)/((0^4+k^2) k) = 0 $
Sostituendo
$ lim_((h,k)->(0;0)) ((hk^2)/(h^4+k^2)) /(sqrt(h^2+k^2)) = lim_((h,k)->(0,0)) ( (h k^2)/(sqrt(h^2+k^2) (h^4+k^2)) ) $
Come si calcola ora questo limite?
Badate bene che abbiamo dato appena appena accenni al calcolo di limiti in due variabili , negli esempi visti a lezione li abbiamo risolti unicamente mediante l'utilizzo dei teoremi del confronto ....
Sia $ f(x,y) = {( (xy^2)/(x^4+y^2),(x,y)!=(0,0)) , (0,(x,y)=(0,0)):} $
a)Stabilire se la funzione è continua e differenziabile nel punto (0,0)
b)Calcolare la derivata direzionale lungo la direzione $ lambda $ = ($ alpha,beta $) in (0,0)
Mio Svolgimento :
a ) • Il Dominio della funzione è $ R^2- {(0,0)} $
• per verificare che la funzione sia continua bisogna verificare che
$ lim_(x,y->0,0)((xy^2)/(x^4+y^2)) = f(0,0) $
Ma f(0,0) = 0 per come è definita dall'esercizio e allora affinché la relazione sia soddisfatta anche quel limite deve essere 0
(ORA NON SO SE è corretto) ma io agirei così :
$ (xy^2)/(x^4+y^2)= |x| * |(y^2)/(x^4+y^2)| < |x| $ (sicché $ |(y^2)/(x^4+y^2)| $ è <1 ) ) $ => 0 < |x| * |(y^2)/(x^4+y^2)| < |x| $
Allora per il teorema dei carabinieri $ lim_(x,y->0,0)((xy^2)/(x^4+y^2)) = 0 = f(0,0) $ => La funzione è continua.
• Poiché è continua potrebbe essere anche differenziabile in (0,0) ma poiché (0,0) non appartiene al dominio non possiamo applicare il teorema del differenziale totale allora dobbiamo ricorrere alla definizione di differenziabilità
f(x,y) è differenziabile in (0,0) <=>
$ lim_((h,k)->(0;0)) ( f(0+h,0+k) - f(0,0)-f_x(0,0) * h-f_y(0,0)*k ) /(sqrt(h^2+k^2)) = 0 $
• $ f(h,k) = (hk^2)/(h^4+k^2) $
•$ f(0,0) = 0 $ , secondo quanto imposto dall' esercizio stesso
• $ f_x(0,0) = lim_(h->0) ( f(h,0)-f(0,0) )/(h) = lim_(h->0) (h 0^2)/((h^4+0) h) = 0 $
• $ f_y(0,0) = lim_(k->0) ( f(0,k)-f(0,0) )/(k) = lim_(k->0) (0 k^2)/((0^4+k^2) k) = 0 $
Sostituendo
$ lim_((h,k)->(0;0)) ((hk^2)/(h^4+k^2)) /(sqrt(h^2+k^2)) = lim_((h,k)->(0,0)) ( (h k^2)/(sqrt(h^2+k^2) (h^4+k^2)) ) $
Come si calcola ora questo limite?
Badate bene che abbiamo dato appena appena accenni al calcolo di limiti in due variabili , negli esempi visti a lezione li abbiamo risolti unicamente mediante l'utilizzo dei teoremi del confronto ....
Risposte
potresti passare a coordinate polari per $ rho -> 0^+ $
"cooper":
potresti passare a coordinate polari per $ rho -> 0^+ $
Ciao, grazie per il suggerimento ma non ho visto questo tipo di applicazioni (cioé l'utilizzo di coordinate polari in un calcolo di limite, gli unici esempi prevedono l'utilizzo tutt'al più di metodi del confronto e del teorema dei carabinieri ) , come potrei fare ?
semplicemente sostituisci $ x=rho costheta $ e $ y=rho sentheta $ e risolvi il limite sostanzialmente in una variabile.
"cooper":
semplicemente sostituisci $ x=rho costheta $ e $ y=rho sentheta $ e risolvi il limite sostanzialmente in una variabile.
Ok , anche se non ho mai visto nel mio corso un tipo di risoluzione di questo tipo ti ringrazio molto, potrebbe tornarmi utili ... allora provo :
$ lim_((h,k)->(0,0)) ( (h k^2)/(sqrt(h^2+k^2) (h^4+k^2)) ) =
lim_((rho ,theta)->(0,0)) ( ( (rho costheta)( (rho sentheta)^2) )/(sqrt((rho costheta)^2+(rho sentheta)^2) * ((rho costheta)^4+(rho sentheta)^2)) ) = lim_((rho ,theta)->(0,0)) ( ( (rho costheta)( rho^2 sen^2theta) )/(rho * ( rho^4 cos^4theta+rho^2sen^2theta)) ) = lim_((rho ,theta)->(0,0)) ( ( (rho costheta)( rho^2 sen^2theta) )/(rho^3 * ( rho^2 cos^4theta+sen^2theta)) ) = lim_((rho ,theta)->(0,0)) ( ( (costheta)( sen^2theta) )/( ( rho^2 cos^4theta+sen^2theta)) ) $
Come proseguo a questo punto?
Ah mi sono accorto che forse ho sbagliato ... Il limite è solo per $ rho -> 0 $ non per rho e per theta... Se così fosse significherebbe che il mio limite tenederebbe a $ cos(theta) $ e dunque la funzione non è differenziabile in (0,0)?
Dico bene o sbaglio?
$ lim_(rho -> 0) (rho^3costhetasen^2theta)/(rho(rho^4cos^4theta+rho^2sen^2theta))=lim_(rho->0) (costhetasen^2theta)/(rho^2cos^4theta+sen^2theta)=costheta $
Il limite dipende da $ theta $ e quindi non esiste. $ f(x,y) $ non è differenziabile in $ (0,0) $ .
Il limite dipende da $ theta $ e quindi non esiste. $ f(x,y) $ non è differenziabile in $ (0,0) $ .
"Trivroach":
$ lim_(rho -> 0) (rho^3costhetasen^2theta)/(rho(rho^4cos^4theta+rho^2sen^2theta))=lim_(rho->0) (costhetasen^2theta)/(rho^2cos^4theta+sen^2theta)=costheta $
Il limite dipende da $ theta $ e quindi non esiste. $ f(x,y) $ non è differenziabile in $ (0,0) $ .
Perfetto grazie
allora è come avevo osservato io ieri 
"
"Warioss":" .
Ah mi sono accorto che forse ho sbagliato ... Il limite è solo per $ rho -> 0 $ non per rho e per theta... Se così fosse significherebbe che il mio limite tenederebbe a $ cos(theta) $ e dunque la funzione non è differenziabile in (0,0)?
Dico bene o sbaglio?
Ora per il punto b procederei in questo modo:
b) Non essendo la funzione differenziabile in (0,0) non posso applicare il teorema della derivata direzionale per calcolarmi la derivata direzionale in quel punto allora ricorro alla definizione di derivata direzionale
$ f_(lambda) (0,0) = lim_(t->0) (f(0+t*alpha,0+t*beta)- f(0,0))/(t) =
lim_(t->0) (((t*alpha)(t*beta)^2)/((t*alpha)^4+(t*beta)^2))/(t) = lim_(t->0)(alpha beta^2)/(beta^2+alpha^4 t^2)= alpha $
E così si conclude l'esercizio, giusto?
Si, va bene.
"Trivroach":
Si, va bene.
Grazie
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