Studio della differenziabilità di una funzione

[Sirio1988]

Salve a tutti,
vi volevo sottoporre un esercizio in cui ho incontrato alcune difficoltà. Tale esercizio è stato svolto dal mio prof di Analisi II.

Studiare la differenziabilità della funzione

$f(x,y)={((e^(x^3y)-1)/(sin(x^2+y^2)) text( se )0
Per prima cosa studiamo la continuità di f.
All'infuori di (0,0) la funzione e sempre continua. Quindi bisognerà studiare la continuità in (0,0).

$lim_((x,y) rarr (0,0)) (e^(x^3y)-1)/(sin(x^2+y^2))=0$

$(e^(x^3y)-1)/(sin(x^2+y^2))=(e^(x^3y)-1)/(x^3y)(x^3y)/(x^2+y^2)(x^2+y^2)/(sin(x^2+y^2))$

Notiamo che
$(e^(x^3y)-1)/(x^3y) rarr 1$
$(x^2+y^2)/(sin(x^2+y^2)) rarr 1$

rimane solo da valutare $lim_((x,y) rarr (0,0)) (x^3y)/(x^2+y^2)$

Il mio prof. ha dato per scontato che tale limite faccia 0 ma purtroppo non ha spiegato il perché...

[avmarshall]

Non capisco perchè studi la continuità visto che devi indagare la differenziabilità. Detto questo prova a fare quel limite tramite le coordinate polari.

[Sirio1988]

Me lo sono chiesto anch'io. Forse è saltata una parte del testo dell'esercizio mentre lo trascriveva. Comunque per quanto riguarda l'ultimo limite lo svolge nella seguente maniera.

$lim_((x,y) rarr (0,0))(x^3y)/(x^2+y^2)=lim_((x,y) rarr (0,0))x^2(xy)/(x^2+y^2)$

Poi scrive che siccome $x^2 rarr 0$ e $|(xy)/(x^2+y^2)|<1/2$ allora tale limite tende a 0. Cosa vuol dire con $|(xy)/(x^2+y^2)|<1/2$?

[avmarshall]

Quella è una disuguaglianza notevole. Si dimostra da una delle proprietà del valore assoluto.
PS
Di dove sei tu?Perchè il mio prof di analisi 2 ha fatto lo stesso esercizio svolto nella stessa maniera.

[Sirio1988]

Sono di Catania. Il prof. in questione è Giuseppe Di Fazio.

[avmarshall]

L'hai capito dunque il risultato di quel limite?
OT
Pure io sono di Catania, ma il mio prof di analisi 2 è stato Marano. Di Fazio ce l'ho avuto di analisi 1 e come sua natura, per certi aspetti è oscuro!
OT

[Sirio1988]

Credo che non esista $lim_((x,y) rarr (0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$ in quanto se consideriamo le rette passanti per l'origine si ha che $lim_(x rarr 0) (mx^2)/(x^2+mx^2)=1/(1+m^2)$. Ma a questo punto non so più cosa fare.

[avmarshall]

Una cosa è il limite, e una cosa è che quell'espressione è limitata a prescindere.

[Sirio1988]

Quindi essendo sempre vero che $|(xy)/(x^2+y^2)|<1/2$ e dato che $x^2 rarr 0$ allora il limite è 0.

[Camillo]

E' vero che $lim_((x,y) rarr (0,0)) (xy)/(x^2+y^2) $ non esiste come hai detto tu.
Però il suo valore assoluto lo puoi maggiorare con $1/2$, quindi pur non esistendo il limite il rapporto è limitato, appunto $ <1/2$.
Riprendendo allora il discorso del prof hai che il limite del prodotto di una funzione limitata per una che tende a $ 0 $ vale $0 $ .

[Sirio1988]

Capito. Grazie ad entrambi. Proseguirò comunque l'esercizio per verificare se ci sono altre parti che non riesco a comprendere.

[paolotesla91]

Ciao. Per precisione alcune di queste maggiorazioni si possono ricavare. Mi spiego, quella maggiorazione di cui si è parlato prima è abbastanza semplice perchè si ricava dalla relazione $(|x|-|y|)^2$. Ad alcuni potrà sembrare ovvio ma io ho voluto precisare per evitare equivoci. La stessa cosa vale anche per $|sin(\theta)|<=|\theta|$ e $|1-cos(\theta)|<=1/2(\theta)^2$.

[Sirio1988]

"paolotesla91":Ciao. Per precisione alcune di queste maggiorazioni si possono ricavare. Mi spiego, quella maggiorazione di cui si è parlato prima è abbastanza semplice perchè si ricava dalla relazione $(|x|-|y|)^2$. Ad alcuni potrà sembrare ovvio ma io ho voluto precisare per evitare equivoci. La stessa cosa vale anche per $|sin(\theta)|<=|\theta|$ e $|1-cos(\theta)|<=1/2(\theta)^2$.

Mi interesserebbe sapere dove posso trovare qualche spiegazione su tali maggiorazioni.

[paolotesla91]

mah! guarda queste cose di solito le dimostrano ma se cerchi delle dimostrazioni in merito prova a cercare sul web oppure per queste che ti ho scritto puoi tranquillamente applicare le dimostrazioni di analisi 1. Infatti queste discendono da quelle.

[Sirio1988]

Capito. Grazie.

[paolotesla91]

Di solito capita di usare solo queste che sono più importanti. Poi se proprio non ti riesce usa le coordinate polari.


EDIT: intendevo dire che una quantità del tipo $(x_1^2)/(x_1^2+x_2^2)<=1$

[dissonance]

"paolotesla91":il modulo di un vettore fratto la sua norma è $<=1$

???

[paolotesla91]

ops! xD Correggo subito grazie dissonance

[dissonance]

"paolotesla91":EDIT: intendevo dire che una quantità del tipo $(x_1^2)/(x_1^2+x_2^2)<=1$

Questo è vero e facile da dimostrare: qui il denominatore è più grande del numeratore e quindi l'intera frazione è più piccola di \(1\). Sicuramente la pensavi in questa forma equivalente:

\[\tag{1} \frac{\lvert x_1 \rvert}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\le 1.\]

Questa è in realtà un caso particolare di una delle più importanti disuguaglianze della matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

\[\tag{CS} \sum_{j=1}^n \lvert x_j y_j \rvert \le \left( \sum_{j=1}^n x_j^2\right)^{1/2}\left(\sum_{j=1}^n y_j^2\right)^{1/2}.\]

Ponendo \(n=2, y_1=1, y_2=0\) nella (CS) si ottiene la (1).

[paolotesla91]

sisi infatti

[Sirio1988]

"Sirio1988":
Studiare la differenziabilità della funzione

$f(x,y)={((e^(x^3y)-1)/(sin(x^2+y^2)) text( se )0

Tornando allo svolgimento dell' esercizio di partenza ho trovato un'ulteriore difficoltà.

La funzione è differenziabile fuori dall'origine. Rimane da studiare il comportamento di f in (0,0).
$f_x(0,0)=lim_(h rarr 0) (f(h,0)-f(0,0))/(h)=0$
$f_y(0,0)=lim_(h rarr 0) (f(0,h)-f(0,0))/(h)=0$

Quindi bisogna dimostrare che

$lim_((x,y) rarr (0,0)) (f(x+0,y+0)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y)/sqrt(x^2+y^2)=lim_((x,y) rarr (0,0))(e^(x^3y)-1)/(sin(x^2+y^2))1/sqrt(x^2+y^2)=0$

Agendo in maniera analoga a quanto fatto precedentemente per la continuità si ha

$(e^(x^3y)-1)/(sin(x^2+y^2))1/sqrt(x^2+y^2)=(e^(x^3y)-1)/(x^3y)(x^3y)/((x^2+y^2)^(3/2))(x^2+y^2)/(sin(x^2+y^2))$

Dato che $(e^(x^3y)-1)/(x^3y) rarr 1$ e $(x^2+y^2)/(sin(x^2+y^2)) rarr 1$ bisognerà dimostrare che $(x^3y)/((x^2+y^2)^(3/2)) rarr 0$.

A questo punto però il mio prof scrive che:

$|(x^3y)/((x^2+y^2)^(3/2))|=|y(x^3)/((x^2+y^2)^(3/2))|<=|y| rarr 0$

Cosa vuol dire quest'ultimo passaggio?