Studio della differenziabilità di una funzione

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
vi volevo sottoporre un esercizio in cui ho incontrato alcune difficoltà. Tale esercizio è stato svolto dal mio prof di Analisi II.

Studiare la differenziabilità della funzione

$f(x,y)={((e^(x^3y)-1)/(sin(x^2+y^2)) text( se )0
Per prima cosa studiamo la continuità di f.
All'infuori di (0,0) la funzione e sempre continua. Quindi bisognerà studiare la continuità in (0,0).

$lim_((x,y) rarr (0,0)) (e^(x^3y)-1)/(sin(x^2+y^2))=0$

$(e^(x^3y)-1)/(sin(x^2+y^2))=(e^(x^3y)-1)/(x^3y)(x^3y)/(x^2+y^2)(x^2+y^2)/(sin(x^2+y^2))$

Notiamo che
$(e^(x^3y)-1)/(x^3y) rarr 1$
$(x^2+y^2)/(sin(x^2+y^2)) rarr 1$

rimane solo da valutare $lim_((x,y) rarr (0,0)) (x^3y)/(x^2+y^2)$

Il mio prof. ha dato per scontato che tale limite faccia 0 ma purtroppo non ha spiegato il perché...

[Seneca1]

$(x/sqrt( x^2 + y^2))^3 <= 1$ perché $x/sqrt( x^2 + y^2) <= 1$.

[sirio25788-votailprof]

Grazie. Ora è tutto chiaro.